Chia sẻ:
Tiểu sử Leonhard Euler, đóng góp, công việc, cuộc hẹn
Leonhard Paul Euler (1707-1783) được coi là nhà toán học chính của thế kỷ thứ mười tám và là một trong những người nổi tiếng nhất và nổi tiếng nhất mọi thời đại. Nhà toán học đến từ Thụy Sĩ này được công nhận là một trong những cha mẹ ban đầu của toán học thuần túy, và đóng góp quyết định trong các lĩnh vực lý thuyết, tính toán, vẽ đồ thị và cơ học.
Ông cũng là một nhà vật lý và triết học; năng lực và sự sáng suốt của anh ta đã khiến anh ta được so sánh với những người có tầm vóc của cha đẻ của vật lý, Albert Einstein. Theo các nhà sử học đã nghiên cứu công trình của ông, có thể nói rằng Euler là một nhân vật nhẹ nhàng và thị hiếu không phức tạp, ngay cả những người đơn giản, nhưng ông rất ngoan cường và chăm chỉ..
Đào tạo tôn giáo của ông đã đưa ông đến lĩnh vực triết học theo cách tiếp cận đó. Mặc dù vậy, người ta biết rằng anh ta không có kiến thức vững chắc hoặc xử lý hùng biện đúng đắn, điều mà một số đối thủ cạnh tranh triết học của anh ta đã lợi dụng để tổ chức các cuộc tranh luận về các chủ đề như siêu hình học, các cuộc tranh luận mà anh ta hiếm khi thành công..
Cũng như những bộ óc xuất sắc khác trong lịch sử, các tác phẩm và lý thuyết của họ vẫn được công bố và nghiên cứu. Thậm chí nhiều tác giả đồng ý rằng hiện tại một số đề xuất của họ là những phần cơ bản làm cho các công cụ tìm kiếm mà chúng ta sử dụng hàng ngày để lướt Internet nhanh hơn nhiều.
Công việc rộng lớn của Euler khiến anh ta có thể có ảnh hưởng rõ rệt trong các nhánh kiến thức khác nhau. Ví dụ, trong số những đóng góp quan trọng nhất của nhà khoa học này nhấn mạnh việc phát hiện ra một số hằng số toán học, tất cả thường được sử dụng ngày nay.
Tương tự, ông cũng phát triển những tiến bộ quan trọng trong các lĩnh vực thiên văn học, vật lý và cơ học, và thậm chí trong lĩnh vực quang học, trong đó ông đề xuất một lý thuyết khác với thuyết trình của Isaac Newton.
Chỉ số
- 1 Tiểu sử
- 1.1 Năm đầu tiên
- 1.2 Vị thành niên
- 1.3 Đến Nga
- 1.4 Cái chết của Pedro II và đám cưới
- 1.5 Từ Nga đến Đức
- 1.6 Củng cố niềm tin của bạn
- 1.7 Euler, chu kỳ
- 1.8 Quay trở lại Nga
- 1.9 Thứ hai và cái chết
- 2 Đóng góp
- 2.1 Ký hiệu hàm và toán học
- 2.2 Logarit và số e
- 2.3 Tính toán và toán ứng dụng
- 2.4 Kỹ thuật, cơ học, vật lý và thiên văn học
- 2.5 Các lĩnh vực khác mà anh ấy có ảnh hưởng
- 3 công trình
- 4 cuộc hẹn
- 5 tài liệu tham khảo
Tiểu sử
Năm đầu
Leonhard Euler sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707 tại Basel, Thụy Sĩ. Ông là con trai của cuộc hôn nhân giữa mục sư Paul Euler, một người thuộc hệ thống thần học gọi là "Calvinism"; và Marguerite Brucker, con gái của một mục sư khác cùng thời.
Ngay từ khi còn nhỏ, ông đã làm cha mẹ và bạn bè ngạc nhiên - như gia đình Bernoulli, người cha được biết đến thân mật - với kỹ năng học tập sớm và kỹ năng giải quyết nhanh các vấn đề số học cơ bản.
Giáo dục chính thức của cô bắt đầu cô ở Basel mặc dù thực tế là phần còn lại của gia đình ở làng Riehen gần đó, nơi gia đình cô quyết định chuyển đi ngay sau khi sinh Leonhard. Ông là con lớn nhất trong ba người con, có hai em gái tên Anna Maria và Maria Magdalena. Euler có một tuổi thơ lặng lẽ và bình yên..
Rực rỡ và nổi bật ngay từ đầu, và dưới sự chăm sóc của bà ngoại, Euler đã vào được trường đại học Basel khi mới 13 tuổi. Năm 1723, khi chỉ mới 16 tuổi, ông đã đạt được danh hiệu bậc thầy về triết học.
Bị ảnh hưởng bởi cha mình - người đã hy vọng cũng sẽ phong chức ông làm mục sư của Giáo hội-, Euler học với tiếng Do Thái, tiếng Hy Lạp và thần học..
Người bạn tốt của Paul, Johann Bernoulli, đã thuyết phục anh ta cho phép anh ta không đi theo bước chân của mình với những điều kiện đặc biệt mà anh ta liên tục thể hiện liên quan đến các con số và toán học nói chung..
Vị thành niên
Hoàn toàn dành cho việc học, anh bước sang tuổi 19 khi hoàn thành tiến sĩ; luận án của ông có tiêu đề Sono như chủ đề của nó sự truyền bá âm thanh.
Khi anh ta 20 tuổi, anh ta tham gia một cuộc thi mà qua đó Viện hàn lâm Khoa học Pháp yêu cầu các thí sinh xác định vị trí tối ưu để đặt cột buồm của một chiếc thuyền.
Anh ta đã không chiến thắng cuộc thi vào thời điểm đó (sau đó anh ta đã thắng nó hơn một chục lần), nhưng anh ta chỉ có thể đánh bại anh ta, người cuối cùng được biết đến như là cha đẻ của kiến trúc hải quân, nhà toán học, nhà thiên văn học và nhà địa vật lý người Pháp Pierre Bourguer.
Đến Nga
Vào thời điểm đó, vào đầu năm 1727, Euler được gọi từ Học viện Khoa học Nga (nằm ở St. Petersburg) để chiếm vị trí bị bỏ trống sau cái chết của một trong những người con trai của Johann Bernoulli, người bạn cũ của cha của Euler.
Ông không tham dự ngay lập tức, vì ưu tiên của ông là có được vị trí giáo sư Vật lý tại trường đại học của mình. Anh ấy đã không thành công trong công ty này, vì vậy anh ấy đã đến Nga vào ngày 17 tháng 5 năm 1727.
Nhanh chóng, Euler hợp tác chặt chẽ với Daniel Bernoulli và được thăng chức từ Khoa Y lên một vị trí khác trong Khoa Toán học..
Điều quan trọng cần lưu ý là vào thời điểm đó, Học viện có nguồn lực và quyền tự do dồi dào cho các nhà nghiên cứu của mình do ý định của quốc gia là nâng cao trình độ giáo dục và giảm phạm vi rộng tồn tại so với các quốc gia phương Tây..
Catherine I của Nga là người chủ yếu thúc đẩy ý tưởng tăng mức độ giáo dục này. Khi Leonhard đến nước này, Catherine qua đời ở tuổi 43, để Peter II của Nga lên ngôi, lúc đó mới 12 tuổi..
Sự kiện gây tử vong này đã làm dấy lên sự nghi ngờ trong giới quý tộc Nga về ý định chính đáng của các nhà khoa học nước ngoài được triệu tập đến Học viện, khiến họ phải cắt giảm phần lớn ngân sách dành cho họ..
Cái chết của Pedro II và đám cưới
Do tình trạng này, các nghịch cảnh kinh tế đã giải quyết ở Euler và Bernoulli, và chỉ được cải thiện một chút khi Pedro II qua đời. Ở tuổi 24, Euler đã leo lên các vị trí và trở thành Giáo sư Vật lý của Học viện.
Năm 1731, ông trở thành giám đốc của Khoa Toán học của Học viện sau khi đồng nghiệp Daniel Bernoulli trở về quê hương Basel, sản phẩm của khí hậu căng thẳng vẫn còn tồn tại từ một phần của giới quý tộc.
Việc ở lại Nga đã ngừng cô đơn đối với Euler, kể từ ngày 7 tháng 1 năm 1734, ông kết hôn với Katharina Gsell, con gái của một họa sĩ người Thụy Sĩ của Học viện tên là Georg Gsell và cũng là họa sĩ Dorothea M. Graff.
Cặp vợ chồng Euler-Gsell đã đến để sinh ra 13 đứa con, trong đó chỉ có 5 người sống sót. Trong số đó, Johann Euler, người đã trở thành thành viên của Học viện Berlin nhờ kiến thức về toán học và thiên văn học, đã nổi bật.
Từ Nga đến Đức
Sự bất ổn chính trị ở Nga là có thể sờ thấy. Lo lắng về sự chính trực của mình và của gia đình, anh quyết định tới Berlin vào ngày 19 tháng 6 năm 1741 để định cư ở đó và làm việc tại Học viện của thành phố đó. Thời gian ở Đức kéo dài 25 năm, trong thời gian đó ông đã viết hầu hết các chuyên luận và tác phẩm của cuộc đời mình.
Đó là ở Đức, nơi ông đã viết và xuất bản các tác phẩm Giới thiệu trong analysin infinitorum e Các tổ chức tính toán, lần lượt là 1748 và 1755. Đây là hai trong số những công trình quan trọng nhất mà nhà khoa học này đã viết trong quá trình làm nhà nghiên cứu của mình.
Với thiên hướng triết học rộng rãi, Euler đã dành một phần thời gian của mình để viết hơn 200 bức thư cho Công chúa Anhalt-Dessau, người lúc đó đang ở dưới sự giám hộ của ông.
Trong những bức thư này - sau đó được biên soạn, xuất bản và lấy làm tác phẩm được đọc nhiều nhất của nhà toán học Thụy Sĩ - Leonhard Euler mở rộng với sự tự tin của giáo viên-học sinh về các chủ đề khác nhau, trong đó có triết học, tôn giáo, vật lý và toán học. , trong số những vấn đề khác.
Củng cố niềm tin của bạn
Trong rất nhiều tên lửa lớn và rộng rãi mà Leonhard Euler đã cố gắng đến với Công chúa Anhalt-Dessau, học sinh và gia sư của mình, bạn có thể thấy một Euler có đức tin Kitô giáo sâu sắc, cam kết với các khái niệm được Kinh thánh tuyên bố và giải thích theo nghĩa đen của nó.
Có lẽ đó là lý do tại sao ông phê phán các dòng triết học như chủ nghĩa duy nhất, đã đề xuất và duy trì rằng mọi thứ trong vũ trụ được hình thành từ một chất duy nhất và chủ yếu, trong đó nó được giải thích rằng mọi thứ đều là vật chất và chỉ là vật chất. Nó cũng trái ngược với thái cực đối lập của chủ nghĩa duy tâm hiện tại này, theo đó chất chủ yếu là tinh thần.
Bất kỳ dòng triết học nào đang vật lộn với tầm nhìn theo nghĩa đen của nó về văn bản Kitô giáo thiêng liêng đã được Euler coi là một người vô thần, ngoại giáo và không đáng được phổ biến. Đó là việc giao Leonhard Euler cho Cơ đốc giáo và các thông số của nó.
Euler, cyclops
Trước khi đến Đức và nhờ vào tình hình thế giới tồi tệ liên quan đến sức khỏe trong thế kỷ, Euler đã mắc một số bệnh. Một trong những điều này đặc biệt xảy ra vào năm 1735 và gần như đã kết thúc cuộc đời ông; Hậu quả của những căn bệnh đó gây ra là vào năm 1738, thị lực ở mắt phải của ông gần như mất hoàn toàn.
Hành trình qua Đức của anh không thay đổi số phận của tầm nhìn của anh; Mắt phải của anh dần xấu đi, đến mức chính nhà vua gọi anh là "những chiếc xích lô". Nhiều năm sau, thị lực của anh lại bị trừng phạt một lần nữa: nhân dịp này, đục thủy tinh thể chiếm đoạt mắt trái của anh, khiến anh bị mù thực tế.
Không có gì trong số đó làm cho anh ta rút lui trong sự nghiệp sản xuất của mình; ngược lại, nó mang lại cho anh ta một sự thúc đẩy mới, gia tăng cùng với đó là sự tôn trọng kiếm được tốt mà cộng đồng khoa học bao quanh anh ta có anh ta. Đã có lúc Leonhard Euler ra lệnh cho trợ lý của mình kết quả tính toán mà anh ta đã suy nghĩ, gần như anh ta có thể nhìn thấy chúng.
Trở về Nga
Bất chấp tất cả những đóng góp và đóng góp của ông cho Học viện Berlin, và nói chung cho khoa học thời bấy giờ, cuối năm 1766, Euler phải rời khỏi thành phố đã tổ chức ông trong 25 năm.
Lý do cho điều này là vì vua Frederick II chưa bao giờ kết thúc việc bẩm sinh với "chu kỳ toán học"; Tôi chỉ trích anh ta vì sự đơn giản và ân sủng nhỏ mà anh ta mang đến cho các tiệm đầy quý tộc.
Tình hình kinh tế, xã hội và chính trị của Nga đã trải qua một sự thay đổi may mắn và nhà toán học đã không ngần ngại nhận lời mời làm việc tại Viện hàn lâm Khoa học St. Petersburg. Tuy nhiên, lần lưu trú thứ hai của ông ở Nga đầy những điều không may.
Năm 1771, ông gần như mất mạng trong một trận hỏa hoạn đã thiêu rụi ngôi nhà của mình đến chính nền móng của nó. Chỉ hai năm sau, vào năm 1773, vợ của ông, bà Katharina đã mất mạng, một người phụ nữ mà ông đã chia sẻ cuộc đời của mình trong 40 năm..
Kỷ niệm thứ hai và cái chết
Nỗi cô đơn khi anh rơi xuống đã biến mất vào năm 1776, năm anh ký hợp đồng hôn nhân mới với Salome Abigail Gsell, chị cùng cha khác mẹ của người vợ đầu. Người phụ nữ này đi cùng anh cho đến những ngày cuối cùng của anh..
Cái chết của anh ta xảy ra ở St. Petersburg do đột quỵ, vào ngày 18 tháng 9 năm 1783. Hài cốt của anh ta được chôn cất bên cạnh những người vợ đầu tiên của anh ta và hôm nay họ yên nghỉ trong Tu viện Alexander Nevsky.
Đóng góp
Trong lịch sử, Euler được coi là người có nhiều ấn phẩm, nghiên cứu và điều ước nhất được thực hiện cho đến nay. Người ta ước tính rằng chỉ có 10% hạn chế trong tất cả các tác phẩm của ông đã được nghiên cứu.
Những đóng góp của anh ấy chạm đến rất nhiều lĩnh vực mà ảnh hưởng của anh ấy đạt đến ngày nay. Ví dụ, người ta tin rằng Sudoku, trò giải trí phổ biến đòi hỏi phải sắp xếp một chuỗi số theo một cách cụ thể, là do tính toán xác suất được giải quyết bởi anh ta..
Tất cả các lĩnh vực và bất kỳ nhánh toán học có thể đã được chạm vào bởi nhà khoa học người Thụy Sĩ này. Hình học, tính toán, lượng giác, lý thuyết số, đại số và thậm chí các sơ đồ của các tập hợp, được phổ biến rộng rãi trong giáo dục ngày nay, có trình điều khiển chính của họ trong Leonhard Euler.
Ký hiệu hàm và toán học
Euler là người lần đầu tiên đề xuất rằng kết quả hoặc cường độ của bất kỳ hoạt động nào là "chức năng" của người khác nếu giá trị đầu tiên phụ thuộc vào giá trị của lần thứ hai.
Được ký hiệu danh pháp này là f (x), trong đó một là "hàm" và "đối số" khác. Do đó, thời gian "A" (biến phụ thuộc) đưa phương tiện đi được quãng đường đã thiết lập "d", sẽ phụ thuộc vào tốc độ "v" (biến độc lập) của xe.
Ông cũng giới thiệu "số e" hoặc "số Euler", kết nối các hàm logarit của John Napier với các hàm số mũ.
Euler phổ biến việc sử dụng biểu tượng π. Ông cũng là người đầu tiên sử dụng chữ cái Hy Lạp như một chỉ dẫn về tổng các yếu tố và chữ "i" làm tham chiếu đến đơn vị tưởng tượng.
Số logarit và số e
Euler đã thiết lập việc sử dụng "số e", có giá trị là 2.71828. Giá trị này trở thành một trong những số vô tỷ quan trọng nhất. Hằng số toán học này được định nghĩa là cơ sở của logarit tự nhiên và là một phần của phương trình lãi suất gộp.
Ông cũng khám phá ra cách thể hiện các hàm logarit khác nhau bằng cách sử dụng chuỗi lũy thừa. Với khám phá này, anh đã xoay sở để biểu thị hàm cung tròn tiếp tuyến và ngạc nhiên khi giải một bài toán (bài toán Basel), trong đó anh được yêu cầu tìm tổng chính xác của nghịch đảo bình phương của các số nguyên dương của một chuỗi vô hạn.
Tính toán và toán ứng dụng
Nhà toán học này đã giới thiệu những cách mới để đối phó và giải các phương trình bậc bốn. Ông đã suy luận cách tính tích phân với các giới hạn phức tạp và tìm cách tính toán các biến thể.
Một trong những thành tựu quan trọng nhất của Leonhard Euler là việc sử dụng toán học, phân tích toán học các tình huống thực tế, để giải quyết các vấn đề đã được trình bày.
Trong trường hợp này, toán học nhằm cung cấp một câu trả lời hợp lý, có trật tự và có thể cho các vấn đề hàng ngày, ví dụ, khoa học xã hội hoặc tài chính.
Kỹ thuật, cơ khí, vật lý và thiên văn học
Đóng góp chính của ông trong lĩnh vực kỹ thuật là phân tích các hợp chất và lực phân hủy ảnh hưởng đến các cấu trúc thẳng đứng và tạo ra sự biến dạng hoặc vênh của chúng. Những nghiên cứu này được thu thập trong cái gọi là luật Euler. Luật này lần đầu tiên mô tả dòng radio và các thuộc tính cụ thể, cơ sở cơ bản của kỹ thuật.
Thiên văn học cũng cảm nhận được sự thúc đẩy của những đóng góp của Euler, vì với công việc của mình, nó đã góp phần tính toán chính xác nhất khoảng cách của các thiên thể, tính toán quỹ đạo của các hành tinh trong hành trình không gian và tính toán quỹ đạo và đường đi của sao chổi. Ông kết luận rằng tất cả các hành tinh quay quanh Mặt trời trên một đường elip.
Không còn nghi ngờ gì nữa, ảnh hưởng của Euler là vô cùng rộng lớn; Ông cũng đưa kiến thức của mình để ra lệnh giải quyết các vấn đề cơ học. Theo nghĩa này, anh ta là người đã sử dụng biểu tượng vectơ để chú ý gia tốc và vận tốc, và anh ta đã sử dụng các khái niệm về khối lượng và hạt.
Các lĩnh vực khác trong đó ông có ảnh hưởng
Lĩnh vực quang học cũng là một phần của các chủ đề mà Euler để lại đóng góp của mình. Ông có một lý thuyết khác với lý thuyết được trình bày bởi đồng nghiệp Isaac Newton; đối với Euler, ánh sáng truyền dưới dạng sóng. Ông đã nghiên cứu cơ học của dòng chảy của một chất lỏng tưởng tượng lý tưởng và tạo ra các phương trình Euler trong lĩnh vực này.
Công trình
Trong suốt cuộc đời của mình, Leonhard Euler đã viết tới 800 trang mỗi năm ở độ tuổi làm việc hiệu quả nhất. Được biết, phần lớn tác phẩm của ông vẫn chưa được chia sẻ với thế giới và chờ đợi để được sao chép dưới tiêu đề Opera Ommia, một dự án đầy tham vọng nhằm đưa ra ánh sáng tất cả các văn bản được tạo ra bởi nhà khoa học này.
Có gần 400 bài viết về các chủ đề triết học và / hoặc toán học được viết bởi nhà toán học này. Trong số tất cả các bộ sưu tập của ông, các tác phẩm có liên quan nhất của ông được liệt kê dưới đây:
- Cơ chế, sive motus khoaia analytica tiếp xúc (1736)
- Lềuamen novae theoriae (1739).
- Solutio vấn đề miễn phí quảng cáo geometriam situs pertesyis (1741).
- Phương pháp inveniendi đường cong maximi tối thiểu sở hữu gaudentes, sive solutio Problematis isoperimetrici latissimo Sensu accepti (1744).
- Giới thiệu trong analysin infinitorum (1748).
- Các tổ chức tính toán (1755).
- Theoria motus traum solidorum seu Rigidorum (1765).
- Tổ chức tính toán Integralis (1768 - 1770).
- Đại số Vollständige Anleitung zur (1770).
- Lettres à une Princesse thủy tinh (Thư gửi công chúa Đức(1768 - 1772).
Người ta ước tính rằng, nếu tác phẩm hoàn chỉnh của nó được xuất bản, nó sẽ chiếm từ 60 đến 80 tập. Quá trình gian khổ để xuất bản đầy đủ các tác phẩm của ông bắt đầu vào năm 1911, và đến nay 76 tập đã được xuất bản.
Các cuộc hẹn
Lịch sử luôn luôn duy trì lời nói của những nhân vật, bằng những thành tựu, đóng góp của họ cho nhân loại và suy nghĩ sâu sắc, đã đạt được một quyền như vậy. Leonhard Euler không thể là ngoại lệ.
Nhiều cụm từ được nhà toán học Thụy Sĩ nổi tiếng này trải qua nhiều thế hệ để đến với thời đại chúng ta. Một số nổi tiếng nhất được liệt kê dưới đây:
- "Vì kết cấu của Vũ trụ là hoàn hảo nhất và là công việc của một Người sáng tạo linh hoạt, không có gì xảy ra trong Vũ trụ mà không tuân theo một số quy tắc tối đa hoặc tối thiểu".
- "Tốt hơn phán đoán của chúng tôi, chúng tôi phải tin tưởng vào phép tính đại số".
- "Mặc dù mục đích là thâm nhập vào bí ẩn mật thiết của tự nhiên và từ đó tìm hiểu nguyên nhân thực sự của hiện tượng, tuy nhiên, có thể xảy ra một giả thuyết hư cấu nhất định có thể đủ để giải thích nhiều hiện tượng".
- "Đối với những người hỏi số tiền nhỏ nhất vô hạn trong toán học, câu trả lời là không. Do đó, không có quá nhiều bí ẩn trong khái niệm này, vì người ta thường tin rằng nếu ".
- "Các nhà toán học đã cố gắng vô ích, cho đến bây giờ, để khám phá một số thứ tự trong chuỗi các số nguyên tố và chúng tôi có lý do để tin rằng đó là một bí ẩn mà tâm trí con người sẽ không bao giờ giải quyết được".
- "Tất nhiên, khi các nguyên nhân hiệu quả quá tối, nhưng các nguyên nhân cuối cùng được xác định dễ dàng hơn, vấn đề thường được giải quyết bằng phương pháp gián tiếp".
- "Loại kiến thức chỉ được hỗ trợ bởi các quan sát và chưa được chứng minh phải được phân biệt cẩn thận với sự thật; nó được kiếm được bằng cảm ứng, như chúng ta thường nói. Tuy nhiên, chúng tôi đã thấy các trường hợp chỉ cảm ứng dẫn đến lỗi ".
Leonhard Euler đã rất tiến bộ trong thời gian của mình, và một ví dụ về điều này là trích dẫn mà chúng tôi đề cập dưới đây. Anh ta không thể chứng minh một số con số và / hoặc phương trình nhất định, không phải vì không thể làm được mà vì anh ta không có các công cụ thích hợp được phát minh theo thời gian và Euler rất biết điều đó:
- "Trên thực tế, nó sẽ là một phát minh đáng kể về một cỗ máy có khả năng bắt chước lời nói, với âm thanh và khớp nối của nó ... Tôi nghĩ rằng nó không phải là không thể".
Tài liệu tham khảo
- "Leonhard Euler" trong Wikipedia. Truy cập ngày 20 tháng 2 năm 2019 từ Wikipedia: en.wikipedia.org
- "Leonard Euler" tại Đại học Granada. Truy cập ngày 20 tháng 2 năm 2019 từ Đại học Granada: ugr.es
- "Sự bí ẩn đã được giải quyết 300 năm trước bởi nhà toán học Leonhard Euler, người ngày nay cho phép chúng ta truy cập internet" trên BBC London. Truy cập ngày 20 tháng 2 năm 2019 từ BBC - Tin tức - Thế giới: bbc.com
- "Leonhard Euler" trong bách khoa toàn thư Britannica. Truy cập ngày 20 tháng 2 năm 2019 từ Encyclopaedia Britannica: britannica.com
- "Cụm từ của Leonhard Euler" trong Cụm từ và Suy nghĩ. Truy cập vào ngày 20 tháng 2 năm 2019 từ Cụm từ và Suy nghĩ: fraseypensamientos.com.ar