Phương pháp và ví dụ

các nhân tố là một phương thức thông qua đó một đa thức được thể hiện dưới dạng phép nhân các yếu tố, có thể là số, chữ hoặc cả hai. Để xác định các yếu tố phổ biến cho các thuật ngữ được nhóm lại và theo cách này, đa thức được phân tách thành một số đa thức.

Do đó, khi các yếu tố nhân với nhau, kết quả là đa thức ban đầu. Bao thanh toán là một phương pháp rất hữu ích khi bạn có các biểu thức đại số, bởi vì nó có thể được chuyển đổi thành phép nhân của một số thuật ngữ đơn giản; Ví dụ: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Có những trường hợp trong đó một đa thức không thể được xác định bởi vì không có yếu tố chung giữa các điều khoản của nó; do đó, các biểu thức đại số này chỉ chia hết cho nhau và bằng 1. Ví dụ: x + y + z.

Trong một biểu thức đại số, yếu tố chung là ước số chung lớn nhất của các thuật ngữ tạo ra nó.

Chỉ số

• 1 phương pháp bao thanh toán
  • 1.1 Bao thanh toán theo yếu tố chung
  • 1.2 Ví dụ 1
  • 1.3 Ví dụ 2
  • 1.4 Bao thanh toán bằng cách nhóm
  • 1,5 Ví dụ 1
  • 1.6 Bao thanh toán bằng cách kiểm tra
  • 1.7 Ví dụ 1
  • 1.8 Ví dụ 2
  • 1.9 Bao thanh toán với các sản phẩm đáng chú ý
  • 1.10 Ví dụ 1
  • 1.11 Ví dụ 2
  • 1,12 Ví dụ 3
  • 1.13 Bao thanh toán với quy tắc của Ruffini
  • 1,14 Ví dụ 1
• 2 Tài liệu tham khảo

Phương pháp bao thanh toán

Có một số phương pháp bao thanh toán, được áp dụng tùy thuộc vào trường hợp. Một số trong số này là:

Bao thanh toán theo yếu tố chung

Trong phương pháp này, những yếu tố phổ biến được xác định; đó là, những cái được lặp lại trong các điều khoản của biểu thức. Sau đó, thuộc tính phân phối được áp dụng, ước số chung tối đa được loại bỏ và hệ số được hoàn thành.

Nói cách khác, yếu tố chung của biểu thức được xác định và mỗi thuật ngữ được phân chia giữa nó; các thuật ngữ kết quả sẽ được nhân với hệ số chung lớn nhất để biểu thị hệ số.

Ví dụ 1

Yếu tố (b²x) + (b²y).

Giải pháp

Đầu tiên là yếu tố chung của mỗi thuật ngữ, trong trường hợp này là b², và sau đó các thuật ngữ được chia cho các yếu tố phổ biến như sau:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Hệ số được thể hiện, nhân hệ số chung với các số hạng kết quả:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Ví dụ 2

Hệ số (2a)²b³) + (3ab²).

Giải pháp

Trong trường hợp này, chúng tôi có hai yếu tố được lặp lại trong mỗi thuật ngữ là "a" và "b" và được nâng lên thành một quyền lực. Để tính đến chúng, đầu tiên hai thuật ngữ được chia thành dạng dài:

2_*một_*một_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Có thể thấy rằng yếu tố "a" chỉ được lặp lại một lần trong thuật ngữ thứ hai và yếu tố "b" được lặp lại hai lần trong đó; vì vậy trong thuật ngữ đầu tiên chỉ có 2, một yếu tố "a" và "b"; trong khi trong nhiệm kỳ thứ hai chỉ có 3.

Do đó, chúng tôi viết thời gian "a" và "b" được lặp lại và nhân với các yếu tố còn sót lại từ mỗi thuật ngữ, như được thấy trong hình ảnh:

Hệ số hóa bằng cách nhóm

Vì không phải trong tất cả các trường hợp, ước số chung tối đa của đa thức được thể hiện rõ ràng, cần phải thực hiện các bước khác để có thể viết lại đa thức và do đó yếu tố.

Một trong những bước này là nhóm các số hạng của đa thức thành nhiều nhóm, sau đó sử dụng phương pháp nhân tố chung.

Ví dụ 1

Yếu tố ac + bc + quảng cáo + bd.

Giải pháp

Có 4 yếu tố trong đó hai yếu tố phổ biến: trong thuật ngữ đầu tiên, nó là "c" và trong yếu tố thứ hai là "d". Theo cách này, hai thuật ngữ được nhóm lại và tách rời:

(ac + bc) + (quảng cáo + bd).

Bây giờ có thể áp dụng phương pháp yếu tố chung, chia mỗi thuật ngữ cho yếu tố chung và sau đó nhân hệ số chung đó với các thuật ngữ kết quả, như sau:

(ac + bc) / c = a + b

(quảng cáo + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Bây giờ bạn nhận được một nhị thức phổ biến cho cả hai điều khoản. Để yếu tố nó được nhân với các yếu tố còn lại; theo cách đó bạn phải:

ac + bc + quảng cáo + bd =  (c + d) _* (a + b).

Hệ số bằng cách kiểm tra

Phương pháp này được sử dụng để nhân các đa thức bậc hai, còn được gọi là tam thức; đó là những cái có cấu trúc như rìu² ± bx + c, trong đó giá trị của "a" khác với 1. Phương pháp này cũng được sử dụng khi tam thức có dạng x² ± bx + c và giá trị của "a" = 1.

Ví dụ 1

Yếu tố x² + 5x + 6.

Giải pháp

Bạn có một tam thức bậc hai có dạng x² ± bx + c. Để tính hệ số trước tiên, bạn phải tìm hai số mà khi nhân, kết quả là giá trị của "c" (nghĩa là 6) và tổng của nó bằng hệ số "b", đó là 5. Các số đó là 2 và 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Theo cách này, biểu thức được đơn giản hóa như thế này:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Mỗi thuật ngữ được bao gồm:

- Cho (x² + 2x) thuật ngữ chung được trích xuất: x (x + 2)

- Với (3x + 6) = 3 (x + 2)

Do đó, biểu thức vẫn còn:

x (x +2) + 3 (x +2).

Khi bạn có một nhị thức chung, để giảm biểu thức nhân số này với các số hạng dư và bạn phải:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Ví dụ 2

Yếu tố 4a² + 12a + 9 = 0.

Giải pháp

Bạn có một tam giác bậc hai của hình thức rìu² ± bx + c và để tính hệ số, tất cả các biểu thức được nhân với hệ số của x²; trong trường hợp này, 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² một² + 12a (4) + 36 = 0

Bây giờ chúng ta phải tìm hai số mà khi nhân với nhau, kết quả là giá trị của "c" (là 36) và khi cộng lại với nhau sẽ dẫn đến hệ số của thuật ngữ "a", là 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Theo cách này, biểu thức được viết lại, có tính đến² một² = 4a _* 4a. Do đó, tài sản phân phối được áp dụng cho mỗi điều khoản:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Cuối cùng, biểu thức được chia cho hệ số²; đó là 4

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Biểu thức như sau:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Bao thanh toán với các sản phẩm đáng chú ý

Có những trường hợp, để hoàn toàn yếu tố đa thức với các phương pháp trước đó, nó trở thành một quá trình rất dài.

Đó là lý do tại sao một biểu thức có thể được phát triển với các công thức của các sản phẩm đáng chú ý và do đó quá trình trở nên đơn giản hơn. Trong số các sản phẩm đáng chú ý nhất được sử dụng là:

- Sự khác biệt của hai hình vuông: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Bình phương hoàn hảo của một khoản tiền: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Hình vuông hoàn hảo của sự khác biệt: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Sự khác biệt của hai hình khối: a³ - b³ = (a-b)_*(một² + ab + b²)

- Tổng hai khối: a³ - b³ = (a + b) _* (một² - ab + b²)

Ví dụ 1

Yếu tố (5² - x²)

Giải pháp

Trong trường hợp này có sự khác biệt của hai hình vuông; do đó, công thức của sản phẩm đáng chú ý được áp dụng:

(một² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Ví dụ 2

Yếu tố 16x² + 40x + 25²

Giải pháp

Trong trường hợp này, chúng ta có một bình phương hoàn hảo của một tổng, bởi vì chúng ta có thể xác định hai số hạng bình phương và số hạng còn lại là kết quả của phép nhân hai với căn bậc hai của số hạng thứ nhất, với căn bậc hai của số hạng thứ hai.

một² + 2ab + b² = (a + b)²

Theo yếu tố, chỉ tính căn bậc hai của các điều khoản thứ nhất và thứ ba:

√ (16 lần²) = 4x

√ (25²) = 5.

Sau đó, hai thuật ngữ kết quả được phân tách bằng dấu hiệu của phép toán và toàn bộ đa thức được bình phương:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Ví dụ 3

Yếu tố 27a³ - b³

Giải pháp

Biểu thức đại diện cho một phép trừ trong đó hai yếu tố được nâng lên khối. Để tính hệ số cho chúng, công thức của sản phẩm đáng chú ý về chênh lệch khối được áp dụng, đó là:

một³ - b³ = (a-b)_*(một² + ab + b²)

Do đó, để xác định, căn bậc ba của mỗi số hạng của nhị thức được trích xuất và nhân với bình phương của số hạng thứ nhất, cộng với tích của số thứ nhất theo số hạng thứ hai, cộng với số hạng thứ hai theo bình phương.

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Bao thanh toán với quy tắc của Ruffini

Phương pháp này được sử dụng khi bạn có đa thức bậc hai lớn hơn, để đơn giản hóa biểu thức thành một số đa thức có mức độ nhỏ hơn.

Ví dụ 1

Yếu tố Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Giải pháp

Trước tiên hãy tìm các số là ước của 12, là số hạng độc lập; đó là ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 và ± 12.

Sau đó, x được thay thế bởi các giá trị này, từ thấp nhất đến cao nhất, và do đó, nó được xác định với giá trị nào của phép chia sẽ chính xác; đó là, phần còn lại phải là 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Và như vậy cho mỗi dải phân cách. Trong trường hợp này, các yếu tố được tìm thấy là cho x = -1 và x = 2.

Bây giờ phương pháp Ruffini được áp dụng, theo đó các hệ số của biểu thức sẽ được chia cho các yếu tố được tìm thấy để phân chia chính xác. Các điều khoản đa thức được sắp xếp theo cấp số nhân cao nhất đến thấp nhất; trong trường hợp một thuật ngữ có mức độ theo sau trong chuỗi bị thiếu, 0 được đặt ở vị trí của nó.

Các hệ số được đặt trong một sơ đồ như trong hình dưới đây.

Hệ số đầu tiên được hạ xuống và nhân với ước số. Trong trường hợp này, ước số đầu tiên là -1 và kết quả được đặt trong cột tiếp theo. Sau đó, giá trị của hệ số được thêm theo chiều dọc với kết quả đó thu được và kết quả được đặt bên dưới. Bằng cách đó, quá trình được lặp lại cho đến cột cuối cùng.

Sau đó, quy trình tương tự được lặp lại một lần nữa, nhưng với ước số thứ hai (là 2) vì biểu thức vẫn có thể được đơn giản hóa.

Do đó, đối với mỗi gốc thu được, đa thức sẽ có một số hạng (x - a), trong đó "a" là giá trị của gốc:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Mặt khác, các điều khoản này phải được nhân với phần còn lại của quy tắc 1: 1 và -6 của Ruffini, là các yếu tố đại diện cho một loại. Theo cách này, biểu thức được hình thành là: (x² + x - 6).

Lấy kết quả của hệ số nhân của đa thức bằng phương pháp Ruffini là:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Để kết thúc, đa thức bậc 2 xuất hiện trong biểu thức trước có thể được viết lại thành (x + 3) (x-2). Do đó, yếu tố cuối cùng là:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Tài liệu tham khảo

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Đại số và lượng giác với hình học phân tích. Giáo dục Pearson.
2. J, V. (2014). Làm thế nào để dạy trẻ em về bao thanh toán cho đa thức.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Toán cơ bản với các ứng dụng.
4. Roelse, P. L. (1997). Các phương pháp tuyến tính cho nhân tố đa thức trên các trường hữu hạn: lý thuyết và triển khai. Đại học Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Nhẫn và Factorization.