Lịch sử hình học Euclide, các khái niệm và ví dụ cơ bản



các Hình học Euclide tương ứng với nghiên cứu các tính chất của không gian hình học trong đó các tiên đề của Euclid được thỏa mãn. Mặc dù thuật ngữ này đôi khi được sử dụng để bao gồm các hình học có kích thước vượt trội với các thuộc tính tương tự, nó thường đồng nghĩa với hình học cổ điển hoặc hình học phẳng..

Vào thế kỷ thứ ba a. C. Euclid và các môn đệ của mình đã viết Yếu tố, một công việc bao gồm kiến ​​thức toán học của thời gian có một cấu trúc suy diễn logic. Kể từ đó, hình học đã trở thành một khoa học, ban đầu để giải quyết các vấn đề cổ điển và đã phát triển thành một khoa học hình thành giúp lý luận.

Chỉ số

  • 1 Lịch sử
  • 2 khái niệm cơ bản
    • 2.1 Khái niệm thường gặp
    • 2.2 Định đề hoặc tiên đề
  • 3 ví dụ
    • 3.1 Ví dụ đầu tiên
    • 3.2 Ví dụ thứ hai
    • 3.3 Ví dụ thứ ba
  • 4 tài liệu tham khảo

Lịch sử

Để nói về lịch sử hình học Euclide, điều cần thiết là bắt đầu với Euclid của Alexandria và Yếu tố.

Khi Ai Cập nằm trong tay Ptolemy I, sau cái chết của Alexander Đại đế, anh bắt đầu dự án của mình tại một trường học ở Alexandria.

Trong số các nhà hiền triết dạy ở trường có Euclid. Người ta suy đoán rằng ngày sinh của anh ta khoảng từ 325 a. C. và cái chết của 265 a. C. Chúng ta có thể biết chắc chắn rằng anh ấy đã đến trường của Plato.

Trong hơn ba mươi năm Euclid đã dạy ở Alexandria, xây dựng các yếu tố nổi tiếng của mình: ông bắt đầu viết một mô tả đầy đủ về toán học của thời đại mình. Những lời dạy của Euclid đã tạo ra những môn đệ xuất sắc, như Archimedes và Apollonius của Perga.

Euclid chịu trách nhiệm cấu trúc các khám phá khác nhau của người Hy Lạp cổ điển trong Yếu tố, nhưng không giống như những người tiền nhiệm của nó, nó không giới hạn trong việc khẳng định rằng một định lý là đúng; Euclide cung cấp một cuộc biểu tình.

các Yếu tố Họ là một bản tóm tắt của mười ba cuốn sách. Sau Kinh thánh, nó là cuốn sách được xuất bản nhiều nhất, với hơn một nghìn phiên bản.

các Yếu tố là kiệt tác của Euclid trong lĩnh vực hình học, và đưa ra cách xử lý dứt khoát hình học hai chiều (mặt phẳng) và ba chiều (không gian), đây là nguồn gốc của cái mà ngày nay chúng ta gọi là hình học Euclide.

Khái niệm cơ bản

Các yếu tố được tạo thành từ các định nghĩa, khái niệm phổ biến và định đề (hoặc tiên đề) theo sau là các định lý, cấu trúc và trình diễn.

- Một điểm là không có phần.

- Một dòng là một chiều dài không có chiều rộng.

- Một đường thẳng là điểm nằm ngang nhau liên quan đến các điểm nằm trong điểm này.

- Nếu hai đường thẳng được cắt sao cho các góc liền kề bằng nhau, các góc được gọi là thẳng và các đường được gọi là đường vuông góc..

- Các đường thẳng song song là những đường thẳng, nằm trong cùng một mặt phẳng, không bao giờ bị cắt.

Sau những định nghĩa này và các định nghĩa khác, Euclid trình bày một danh sách năm định đề và năm khái niệm.

Khái niệm chung

- Hai thứ bằng một phần ba, bằng nhau.

- Nếu những thứ bằng nhau được thêm vào cùng một thứ, kết quả là như nhau.

- Nếu những thứ bằng nhau được trừ từ những thứ giống nhau, kết quả là như nhau.

- Những thứ phù hợp với nhau là bằng nhau.

- Tổng số lớn hơn một phần.

Định đề hoặc tiên đề

- Đối với hai điểm khác nhau, một và chỉ một dòng đi qua.

- Đường thẳng có thể kéo dài vô tận.

- Bạn có thể vẽ một vòng tròn với bất kỳ trung tâm và bán kính nào.

- Tất cả các góc phải đều giống nhau.

- Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng sao cho các góc bên trong của cùng một cộng với ít hơn hai góc vuông, thì hai đường thẳng sẽ giao nhau ở cạnh đó.

Định đề cuối cùng này được gọi là định đề tương tự và được định dạng lại như sau: "Đối với một điểm nằm ngoài một đường thẳng, bạn có thể vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho".

Ví dụ

Tiếp theo, một số định lý của Yếu tố chúng sẽ phục vụ để hiển thị các thuộc tính của không gian hình học trong đó năm định đề của Euclid được đáp ứng; Ngoài ra, họ sẽ minh họa lý luận suy diễn logic được sử dụng bởi nhà toán học này.

Ví dụ đầu tiên

Đề xuất 1.4. (LAL)

Nếu hai tam giác có hai cạnh và góc giữa chúng bằng nhau thì các cạnh còn lại và các góc khác bằng nhau.

Trình diễn

Đặt ABC và A'B'C 'là hai tam giác có AB = A'B', AC = A'C 'và các góc BAC và B'A'C' bằng nhau. Di chuyển đến tam giác A'B'C 'sao cho A'B' trùng với AB và góc B'A'C 'trùng với góc BAC.

Khi đó, dòng A'C 'trùng với dòng AC, sao cho C' trùng với C. Sau đó, theo định đề 1, dòng BC phải trùng với dòng B'C '. Do đó hai tam giác trùng nhau và do đó, góc và cạnh của chúng bằng nhau.

Ví dụ thứ hai

Mệnh đề 1.5. (Pons Asinorum)

Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì các góc đối diện với các cạnh đó bằng nhau.

Trình diễn

Giả sử tam giác ABC có cạnh AB và AC bằng nhau.

Khi đó, tam giác ABD và ACD có hai cạnh bằng nhau và các góc giữa chúng bằng nhau. Do đó, theo mệnh đề 1.4, các góc ABD và ACD bằng nhau.

Ví dụ thứ ba

Mệnh đề 1.31

Bạn có thể xây dựng một đường thẳng song song với một đường được cho bởi một điểm đã cho.

XÂY DỰNG

Cho một đường thẳng L và một điểm P, một đường thẳng M được vẽ đi qua P và cắt vào L. Sau đó, một đường thẳng N được vẽ bởi P cắt tới L. Bây giờ, chúng ta theo dõi P một N thẳng cắt tới M, tạo thành một góc bằng với L tạo thành với M.

Khẳng định

N song song với L.

Trình diễn

Giả sử L và N không song song và cắt nhau tại một điểm A. Gọi B là một điểm tại L nằm ngoài A. Xét đường thẳng O đi qua B và P. Sau đó, O cắt tới M tạo thành các góc nhỏ hơn hai thẳng.

Sau đó, bằng 1,5 đường thẳng O phải cắt sang đường thẳng L ở phía bên kia của M, do đó L và O cắt nhau tại hai điểm, mâu thuẫn với định đề 1. Do đó, L và N phải song song.

Tài liệu tham khảo

  1. Euclid. Các yếu tố của hình học. Đại học tự trị quốc gia Mexico
  2. Euclid Sáu cuốn sách đầu tiên và các yếu tố thứ mười một và mười hai của Euclid
  3. Eugenio Filloy Yague. Didactics và lịch sử của hình học Euclide.
  4. K.Ribnikov. Lịch sử toán học Biên tập Mir
  5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Hình học phân tích phẳng. Venezuela C.A Biên tập.