Thuộc tính, loại và ví dụ

các homotecia là một thay đổi hình học trong mặt phẳng trong đó, từ một điểm cố định gọi là tâm (O), khoảng cách được nhân với một yếu tố chung. Theo cách này, mỗi điểm P tương ứng với một điểm P 'khác của sản phẩm biến đổi và các điểm này được căn chỉnh với điểm O.

Sau đó, homothety là một sự tương ứng giữa hai hình hình học, trong đó các điểm biến đổi được gọi là homothetic và chúng được xếp thẳng hàng với một điểm cố định và với các đoạn song song với nhau.

Chỉ số

• 1 Homotecia
• 2 thuộc tính
• 3 loại
  • 3.1 Homothety trực tiếp
  • 3.2 Homothety đảo ngược
• 4 Thành phần
• 5 ví dụ
  • 5.1 Ví dụ đầu tiên
  • 5.2 Ví dụ thứ hai
• 6 tài liệu tham khảo

Homothety

Homothety là một phép biến đổi không có hình ảnh đồng dạng, bởi vì từ một hình, một hoặc nhiều hình có kích thước lớn hơn hoặc nhỏ hơn hình gốc sẽ thu được; điều đó có nghĩa là, sự đồng nhất biến đổi một đa giác thành một đa giác tương tự khác.

Để đồng nhất được hoàn thành, chúng phải tương ứng điểm tới điểm và thẳng với nhau, sao cho các cặp điểm tương đồng được căn chỉnh với điểm cố định thứ ba, là trung tâm của điểm tương đồng.

Tương tự như vậy, các cặp đường nối chúng phải song song. Mối quan hệ giữa các phân đoạn như vậy là một hằng số được gọi là tỷ lệ homothety (k); theo cách mà sự đồng nhất có thể được định nghĩa là:

Để thực hiện kiểu chuyển đổi này, bạn bắt đầu bằng cách chọn một điểm tùy ý, đây sẽ là trung tâm của sự tương đồng.

Từ thời điểm này, các phân đoạn dòng được vẽ cho mỗi đỉnh của hình sẽ được chuyển đổi. Thang đo trong đó việc tái tạo hình mới được thực hiện được đưa ra bởi lý do của sự tương đồng (k).

Thuộc tính

Một trong những tính chất chính của homothety là, vì lý do homothety (k), tất cả các số liệu homothetic đều tương tự nhau. Trong số các đặc tính nổi bật khác là:

- Trung tâm của homothety (O) là điểm kép duy nhất và nó tự biến thành chính nó; đó là, nó không thay đổi.

- Các dòng đi qua trung tâm tự biến đổi (chúng là gấp đôi), nhưng các điểm tạo thành nó không gấp đôi.

- Các đường thẳng không đi qua trung tâm được chuyển thành các đường song song; theo cách này, các góc của homothety vẫn giống nhau.

- Hình ảnh của một phân đoạn theo độ đồng nhất của tâm O và tỷ lệ k, là một phân đoạn song song với điều này và có k lần chiều dài của nó. Ví dụ, như đã thấy trong hình ảnh sau đây, một đoạn AB bằng homothetic sẽ dẫn đến một phân đoạn khác A'B ', do đó AB sẽ song song với A'B' và k sẽ là:

- Góc homothetic là đồng dạng; đó là họ có cùng một biện pháp Do đó, hình ảnh của một góc là một góc có cùng biên độ.

Mặt khác, sự đồng nhất thay đổi tùy thuộc vào giá trị của tỷ lệ của nó (k) và các trường hợp sau có thể xảy ra:

- Nếu hằng số k = 1, tất cả các điểm đều cố định vì chúng tự biến đổi. Do đó, hình dạng homothetic trùng với bản gốc và phép biến đổi sẽ được gọi là hàm nhận dạng.

- Nếu k 1, điểm cố định duy nhất sẽ là tâm của homothety (O).

- Nếu k = -1, homothety trở thành đối xứng trung tâm (C); nghĩa là, một vòng quay quanh C sẽ xảy ra ở góc 180^o.

- Nếu k> 1, kích thước của hình được chuyển đổi sẽ lớn hơn kích thước của hình gốc.

- Có 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Có -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Nếu k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Các loại

Homothety cũng có thể được phân thành hai loại, tùy thuộc vào giá trị của tỷ lệ của nó (k):

Trực tiếp

Nó xảy ra nếu hằng số k> 0; đó là, các điểm tương đồng ở cùng một phía đối với trung tâm:

Yếu tố tỷ lệ hoặc tỷ lệ tương tự giữa các số liệu homothetic trực tiếp sẽ luôn dương.

Homothetic ngược

Nó xảy ra nếu hằng số k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Hệ số tỷ lệ hoặc tỷ lệ tương tự giữa các số liệu nghịch đảo homothetic sẽ luôn âm.

Thành phần

Khi một số chuyển động được thực hiện liên tiếp cho đến khi có được một con số bằng với bản gốc, một thành phần của các chuyển động xảy ra. Thành phần của một số phong trào cũng là một phong trào.

Các thành phần giữa hai homothecias dẫn đến một homothecia mới; nghĩa là, chúng ta có một sản phẩm homothetic trong đó trung tâm sẽ được liên kết với tâm của hai biến đổi ban đầu và tỷ lệ (k) là sản phẩm của hai lý do.

Do đó, trong thành phần của hai hom H₁(Hoặc₁, k₁) và H₂(Hoặc₂, k₂), nhân lý do của bạn: k₁ x k₂ = 1 sẽ dẫn đến tỷ lệ k₃ = K₁ x k₂. Trung tâm của homothety mới này (O₃) sẽ nằm trên O thẳng₁ Ôi₂.

Sự tương đồng tương ứng với một sự thay đổi bằng phẳng và không thể đảo ngược; nếu hai đồng loại được áp dụng có cùng trọng tâm và tỷ lệ nhưng với một dấu hiệu khác nhau, hình gốc sẽ được lấy.

Ví dụ

Ví dụ đầu tiên

Áp dụng một homothety cho đa giác trung tâm (O) nhất định, nằm cách điểm A 5 cm và có tỷ lệ k = 0,7.

Giải pháp

Bất kỳ điểm nào được chọn là tâm của homothety và từ tia này được vẽ bởi các đỉnh của hình:

Khoảng cách từ tâm (O) đến điểm A là OA = 5; với điều này, bạn có thể xác định khoảng cách của một trong những điểm tương đồng (OA ') khi biết rằng k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Quá trình có thể được thực hiện cho từng đỉnh hoặc bạn cũng có thể vẽ đa giác homothetic nhớ rằng hai đa giác có các cạnh song song:

Cuối cùng, phép biến đổi trông như thế này:

Ví dụ thứ hai

Áp dụng một homothety cho đa giác trung tâm (O) đã cho, nằm ở điểm 8,5 cm từ điểm C và có tỷ lệ y k = -2.

Giải pháp

Khoảng cách từ tâm (O) đến điểm C là OC = 8,5; với dữ liệu này, có thể xác định khoảng cách của một trong những điểm tương đồng (OC '), cũng biết rằng k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Sau khi vẽ các phân đoạn của các đỉnh của đa giác biến đổi, chúng ta có các điểm ban đầu và các đồng đẳng của chúng nằm ở hai đầu đối diện với tâm:

Tài liệu tham khảo

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Vẽ kỹ thuật: hoạt động vở.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Ái lực, tương đồng và tương đồng.
3. Baer, ​​R. (2012). Đại số tuyến tính và hình học chiếu. Tổng công ty chuyển phát nhanh.
4. Hebert, Y. (1980). Toán học đại cương, xác suất và thống kê.
5. Meserve, B. E. (2014). Khái niệm cơ bản về hình học. Tổng công ty chuyển phát nhanh.
6. Nachbin, L. (1980). Giới thiệu về đại số. Reverte.