Đặc điểm song song, loại, diện tích, khối lượng

Một song song là một cơ thể hình học được hình thành bởi sáu khuôn mặt, có đặc điểm chính là tất cả các mặt của chúng là hình bình hành và các mặt đối diện của chúng song song với nhau. Nó là một khối đa diện phổ biến trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta, vì chúng ta có thể tìm thấy nó trong hộp giày, hình dạng của một viên gạch, hình dạng của lò vi sóng, v.v..

Là một khối đa diện, song song bao quanh một thể tích hữu hạn và tất cả các mặt của nó đều phẳng. Nó là một phần của nhóm lăng kính, là những khối đa diện trong đó tất cả các đỉnh của chúng được chứa trong hai mặt phẳng song song.

Chỉ số

• 1 yếu tố của song song
  • 1.1 Khuôn mặt
  • 1.2 Cạnh
  • 1.3 Đỉnh
  • 1.4 Đường chéo
  • Trung tâm 1.5
• 2 Đặc điểm của Parallelepiped
• 3 loại
  • 3.1 Tính toán các đường chéo
• 4 khu vực
  • 4.1 Diện tích của một chỉnh hình
  • 4.2 Diện tích của một khối lập phương
  • 4.3 Diện tích của một hình thoi
  • 4.4 Diện tích hình thoi
• 5 Khối lượng của một song song
  • 5.1 Song song hoàn hảo
• 6 Tài liệu tham khảo

Các yếu tố của song song

Khuôn mặt

Chúng là mỗi vùng được hình thành bởi các hình bình hành giới hạn hình bình hành. Một mặt song song có sáu mặt, trong đó mỗi mặt có bốn mặt liền kề và một mặt đối diện. Ngoài ra, mỗi bên song song với đối diện của nó.

Cạnh

Họ là mặt chung của hai khuôn mặt. Tổng cộng một song song có mười hai cạnh.

Đỉnh

Đó là điểm chung của ba mặt tiếp giáp với nhau từ hai đến hai. Một song song có tám đỉnh.

Đường chéo

Cho hai cạnh đối diện của một đường song song, chúng ta có thể vẽ một đoạn thẳng đi từ đỉnh của một mặt sang đỉnh đối diện của mặt kia.

Đoạn này được gọi là đường chéo của đường song song. Mỗi đường song song có bốn đường chéo.

Khu trung tâm

Đó là điểm mà tất cả các đường chéo giao nhau.

Đặc điểm của song song

Như chúng tôi đã đề cập, cơ thể hình học này có mười hai cạnh, sáu mặt và tám đỉnh.

Trong một song song, bạn có thể xác định ba bộ được hình thành bởi bốn cạnh, song song với nhau. Ngoài ra, các cạnh của các bộ này cũng đáp ứng tính chất có cùng độ dài.

Một thuộc tính khác mà song song sở hữu là chúng lồi, nghĩa là, nếu chúng ta lấy bất kỳ cặp điểm nào thuộc phần bên trong của đường song song, đoạn được xác định bởi cặp điểm nói trên cũng sẽ nằm trong đường song song..

Ngoài ra, các đường song song là khối đa diện lồi tuân theo định lý Euler đối với khối đa diện, điều này cho chúng ta mối quan hệ giữa số lượng mặt, số cạnh và số đỉnh. Mối quan hệ này được đưa ra dưới dạng phương trình sau:

C + V = A + 2

Tính năng này được gọi là đặc trưng của Euler..

Trong đó C là số mặt, V là số đỉnh và A là số cạnh.

Các loại

Chúng ta có thể phân loại song song dựa trên khuôn mặt của chúng, theo các loại sau:

Chỉnh hình

Chúng là các đường song song nơi khuôn mặt của chúng được hình thành bởi sáu hình chữ nhật. Mỗi hình chữ nhật vuông góc với những hình mà nó chia sẻ cạnh. Chúng là phổ biến nhất trong cuộc sống hàng ngày của chúng tôi vì đây là cách thông thường của hộp giày và gạch.

Khối lập phương hoặc hình lục giác đều

Đây là trường hợp cụ thể của trường hợp trước, trong đó mỗi khuôn mặt là một hình vuông.

Khối lập phương cũng là một phần của các vật thể hình học gọi là chất rắn plonic. Một vật rắn là một khối đa diện lồi, sao cho cả hai mặt và các góc bên trong của nó đều bằng nhau.

Romboedro

Nó là một hình song song với kim cương trên mặt. Những viên kim cương này đều bằng nhau, vì chúng có chung các cạnh.

Romboiedro

Sáu khuôn mặt của nó là hình thoi. Hãy nhớ lại rằng một hình thoi là một đa giác có bốn cạnh và bốn góc bằng hai đến hai. Hình thoi là hình bình hành không phải là hình vuông, cũng không phải hình chữ nhật, cũng không phải hình thoi.

Mặt khác, các đường song song xiên là những đường mà trong đó ít nhất một chiều cao không phù hợp với cạnh của nó. Trong phân loại này, chúng ta có thể bao gồm các hình thoi và hình thoi.

Tính toán đường chéo

Để tính đường chéo của một orthohedron, chúng ta có thể sử dụng Định lý Pythagore cho R³.

Hãy nhớ lại rằng một orthohedron có đặc điểm là mỗi bên vuông góc với các cạnh có chung cạnh. Từ thực tế này, chúng ta có thể suy ra rằng mỗi cạnh vuông góc với những cạnh có chung đỉnh.

Để tính chiều dài đường chéo của một orthohedron, chúng tôi tiến hành như sau:

1. Chúng tôi tính toán đường chéo của một trong các mặt, mà chúng tôi sẽ đặt làm cơ sở. Đối với điều này, chúng tôi sử dụng định lý Pythagore. Đặt tên cho đường chéo này d_b.

2. Sau đó với d_b chúng ta có thể tạo thành một tam giác vuông mới, sao cho cạnh huyền của tam giác đã nói là đường chéo D tìm kiếm.

3. Chúng ta sử dụng lại định lý Pythagore và chúng ta có độ dài đường chéo đã nói là:

Một cách khác để tính các đường chéo theo cách đồ họa hơn là với tổng các vectơ miễn phí.

Nhớ lại rằng hai vectơ A và B tự do được thêm vào bằng cách đặt đuôi của vectơ B với đỉnh của vectơ A.

Vectơ (A + B) là vectơ bắt đầu ở đuôi A và kết thúc ở đầu B.

Hãy xem xét một đường song song mà chúng ta muốn tính đường chéo.

Chúng tôi xác định các cạnh với các vectơ định hướng thuận tiện.

Sau đó, chúng ta thêm các vectơ này và vectơ kết quả sẽ là đường chéo của đường song song.

Khu vực

Diện tích của một đường song song được tính bằng tổng của từng vùng trên khuôn mặt của chúng.

Nếu chúng ta xác định một trong các bên là cơ sở,

Một_L + 2A_B = Tổng diện tích

Trường hợp A_L bằng tổng diện tích của tất cả các cạnh bên của căn cứ, được gọi là diện tích bên và A_B là khu vực cơ sở.

Tùy thuộc vào loại song song mà chúng tôi đang làm việc, chúng tôi có thể viết lại công thức đã nói.

Diện tích của một chỉnh hình

Nó được đưa ra bởi công thức

A = 2 (ab + bc + ca).

Ví dụ 1

Cho các trực giao sau, với các cạnh a = 6 cm, b = 8 cm và c = 10 cm, hãy tính diện tích của đường song song và chiều dài đường chéo của nó.

Sử dụng công thức cho diện tích của orthohedron, chúng ta phải

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Lưu ý rằng vì nó là một động mạch chủ, nên độ dài của bất kỳ trong bốn đường chéo của nó là như nhau.

Sử dụng định lý Pythagore cho không gian, chúng ta phải

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Diện tích của một khối lập phương

Vì mỗi cạnh có cùng độ dài, nên ta có a = b và a = c. Thay thế trong công thức trước chúng ta có

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Ví dụ 2

Hộp của bảng điều khiển trò chơi có hình dạng của một khối lập phương. Nếu chúng ta muốn bọc chiếc hộp này bằng giấy quà tặng, chúng ta sẽ chi bao nhiêu giấy khi biết rằng chiều dài của các cạnh của khối lập phương là 45 cm?

Sử dụng công thức của diện tích khối chúng ta thu được

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Diện tích của một hình thoi

Vì tất cả các mặt của chúng đều bằng nhau, nên đủ để tính diện tích của một trong số chúng và nhân nó với sáu.

Chúng ta có thể tính diện tích của một viên kim cương bằng các đường chéo của nó với công thức sau

Một_R = (Đd) / 2

Sử dụng công thức này, theo đó tổng diện tích của hình thoi là

Một_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Ví dụ 3

Các mặt của hình thoi sau được hình thành bởi một hình thoi có các đường chéo là D = 7 cm và d = 4 cm. Khu vực của bạn sẽ là

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Diện tích hình thoi

Để tính diện tích của một hình thoi, chúng ta phải tính diện tích của các hình thoi tạo thành nó. Vì các đường song song tuân theo thuộc tính mà các mặt đối diện có cùng diện tích, chúng ta có thể liên kết các cạnh thành ba cặp.

Bằng cách này, chúng tôi có khu vực của bạn sẽ được

Một_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Trường hợp b_tôi là các căn cứ liên kết với các bên và_tôi chiều cao tương đối của nó tương ứng với các căn cứ đã nói.

Ví dụ 4

Hãy xem xét các song song sau đây,

trong đó cạnh A và cạnh A '(cạnh đối diện của nó) có gốc b = 10 và đối với chiều cao h = 6. Vùng được đánh dấu sẽ có giá trị là

Một₁ = 2 (10) (6) = 120

B và B 'có b = 4 và h = 6, sau đó

Một₂ = 2 (4) (6) = 48

Và C và C 'có b = 10 và h = 5, vì vậy

Một₃ = 2 (10) (5) = 100

Cuối cùng, diện tích của hình thoi là

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Khối lượng của một song song

Công thức cho chúng ta thể tích của một hình bình hành là tích của diện tích một trong các mặt của nó theo chiều cao tương ứng với mặt đã nói.

V = A_Ch_C

Tùy thuộc vào loại công thức nói song song có thể được đơn giản hóa.

Vì vậy, chúng ta có ví dụ rằng khối lượng của một orthohedron sẽ được đưa ra bởi

V = abc.

Trong đó a, b và c đại diện cho chiều dài của các cạnh trực giao.

Và trong trường hợp cụ thể của khối lập phương là

V = a³

Ví dụ 1

Có ba mô hình khác nhau cho các hộp cookie và bạn muốn biết trong số các mô hình này bạn có thể lưu trữ nhiều cookie hơn, nghĩa là, trong số các hộp có khối lượng cao nhất.

Đầu tiên là một khối lập phương có cạnh có chiều dài a = 10 cm

Thể tích của nó sẽ là V = 1000 cm³

Cái thứ hai có các cạnh b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Và do đó, thể tích của nó là V = 765 cm³

Và thứ ba có e = 9 cm, f = 9 cm và g = 13 cm

Và khối lượng của nó là V = 1053 cm³

Do đó, hộp có âm lượng lớn nhất là hộp thứ ba.

Một phương pháp khác để có được thể tích của một đường song song là sử dụng đại số vectơ. Đặc biệt, sản phẩm ba vô hướng.

Một trong những diễn giải hình học có tích vô hướng ba là thể tích của đường song song, có các cạnh là ba vectơ có cùng đỉnh với điểm bắt đầu.

Theo cách này nếu chúng ta có song song và chúng ta muốn biết âm lượng của nó là bao nhiêu thì đủ để biểu diễn nó trong một hệ tọa độ trong R³ khớp một trong các đỉnh của nó với gốc.

Sau đó, chúng tôi đại diện cho các cạnh đồng quy trong gốc với các vectơ như trong hình.

Và theo cách này, chúng ta có khối lượng nói song song được đưa ra bởi

V = | AxB C |

Hoặc tương đương, âm lượng là yếu tố quyết định của ma trận 3 × 3, được hình thành bởi các thành phần của vectơ cạnh.

Ví dụ 2

Bằng cách biểu diễn song song tiếp theo trong R³ chúng ta có thể thấy rằng các vectơ xác định nó là như sau

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) và w = (-0,25, -4, 4)

Sử dụng sản phẩm ba vô hướng chúng ta có

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Từ đó ta kết luận rằng V = 60

Bây giờ hãy xem xét các đường song song sau trong R3 có các cạnh được xác định bởi các vectơ

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) và C = (3, 4, 4)

Sử dụng các yếu tố quyết định cho chúng ta rằng

Vì vậy, chúng ta có khối lượng song song nói là 112.

Cả hai đều là cách tính khối lượng tương đương.

Song song hoàn hảo

Nó được gọi là cục gạch của Euler (hoặc khối Euler) thành một khối chỉnh hình đáp ứng đặc tính cả chiều dài của các cạnh và độ dài các đường chéo của mỗi mặt của nó là các số nguyên.

Trong khi Euler không phải là nhà khoa học đầu tiên nghiên cứu các orthohedron đáp ứng tính chất đó, anh ta đã tìm thấy kết quả thú vị về chúng.

Viên gạch Euler nhỏ hơn được phát hiện bởi Paul Halcke và độ dài các cạnh của nó là a = 44, b = 117 và c = 240.

Một vấn đề mở trong lý thuyết số như sau

Có chỉnh hình hoàn hảo không?

Hiện tại, câu hỏi này không thể được trả lời, vì không thể chứng minh rằng các thi thể này không tồn tại, nhưng cũng không tìm thấy bất kỳ.

Những gì đã được chỉ ra cho đến nay là song song hoàn hảo tồn tại. Đầu tiên được phát hiện có độ dài các cạnh của nó là các giá trị 103, 106 và 271.

Tài liệu tham khảo

1. Guy, R. (1981). Các vấn đề chưa được giải quyết trong lý thuyết số. Mùa xuân.
2. Landaverde, F. d. (1997). Hình học. Tiến độ.
3. Leithold, L. (1992). TÍNH TOÁN với Hình học Phân tích. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Bản vẽ kỹ thuật: Workbook 3 2nd tú tài . Thanh.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Vật lý tập 1. Mexico: lục địa.