Kỹ thuật đếm nguyên tắc nhân



các nguyên lý nhân là một kỹ thuật được sử dụng để giải quyết các vấn đề đếm để tìm giải pháp mà không cần thiết phải liệt kê các yếu tố của nó. Nó cũng được gọi là nguyên tắc cơ bản của phân tích tổ hợp; được dựa trên phép nhân liên tiếp để xác định cách một sự kiện có thể xảy ra.

Nguyên tắc này xác lập rằng, nếu một quyết định (d1) có thể được thực hiện theo n cách và quyết định khác (d2) có thể được thực hiện theo cách m, tổng số cách mà quyết định có thể được đưa ra1 và d2 sẽ bằng bội số của n * m. Theo nguyên tắc, mỗi quyết định được đưa ra lần lượt: số cách = N1 * N2... * Nx cách.

Chỉ số

  • 1 ví dụ
    • 1.1 Ví dụ 1
    • 1.2 Ví dụ 2
  • 2 kỹ thuật đếm
    • 2.1 Nguyên tắc bổ sung
    • 2.2 Nguyên tắc hoán vị
    • 2.3 Nguyên tắc kết hợp
  • 3 bài tập đã giải
    • 3.1 Bài tập 1
    • 3.2 Bài tập 2
  • 4 tài liệu tham khảo

Ví dụ

Ví dụ 1

Paula dự định đi xem phim với bạn bè và để chọn trang phục cô ấy sẽ mặc, tôi tách 3 áo và 2 váy. Paula có thể ăn mặc bao nhiêu cách??

Giải pháp

Trong trường hợp này, Paula phải đưa ra hai quyết định:

d1 = Chọn giữa 3 áo = n

d2 = Chọn giữa 2 váy = m

Theo cách đó Paula có n * m quyết định thực hiện hoặc cách ăn mặc khác nhau.

n * m = 3* 2 = = 6 quyết định.

Nguyên lý nhân xuất phát từ kỹ thuật của sơ đồ cây, là sơ đồ liên quan đến tất cả các kết quả có thể, để mỗi lần có thể xảy ra một số lần hữu hạn.

Ví dụ 2

Mario rất khát nước, vì vậy anh đã đến tiệm bánh để mua nước trái cây. Luis trả lời anh ta và nói với anh ta rằng anh ta có hai kích cỡ: lớn và nhỏ; và bốn hương vị: táo, cam, chanh và nho. Mario có thể chọn bao nhiêu cách?

Giải pháp

Trong sơ đồ có thể thấy rằng Mario có 8 cách khác nhau để chọn nước trái cây và theo nguyên tắc nhân, kết quả này thu được bằng cách nhân n*m. Sự khác biệt duy nhất là thông qua sơ đồ này, bạn có thể biết cách Mario chọn nước ép.

Mặt khác, khi số lượng kết quả có thể là rất lớn, sẽ thực tế hơn khi sử dụng nguyên tắc nhân.

Kỹ thuật đếm

Kỹ thuật đếm là phương pháp được sử dụng để tạo số đếm trực tiếp và do đó biết số lượng sắp xếp có thể có mà các phần tử của một tập hợp nhất định có thể có. Những kỹ thuật này dựa trên một số nguyên tắc:

Nguyên tắc bổ sung

Nguyên tắc này nói rằng, nếu hai sự kiện m và n không thể xảy ra cùng một lúc, số cách xảy ra sự kiện thứ nhất hoặc thứ hai sẽ là tổng của m + n:

Số lượng biểu mẫu = m + n ... + x các hình thức khác nhau.

Ví dụ

Antonio muốn có một chuyến đi nhưng không quyết định điểm đến nào; tại Cơ quan Du lịch miền Nam, họ cung cấp cho bạn chương trình khuyến mãi để đi du lịch đến New York hoặc Las Vegas, trong khi Cơ quan Du lịch Đông khuyên bạn nên đi du lịch đến Pháp, Ý hoặc Tây Ban Nha. Có bao nhiêu lựa chọn thay thế du lịch khác nhau mà Antonio cung cấp?

Giải pháp

Với Cơ quan Du lịch miền Nam, Antonio có 2 lựa chọn thay thế (New York hoặc Las Vegas), trong khi với Cơ quan Du lịch Đông có 3 lựa chọn (Pháp, Ý hoặc Tây Ban Nha). Số lượng các lựa chọn thay thế khác nhau là:

Số lượng thay thế = m + n = 2 + 3 = 5 lựa chọn thay thế.

Nguyên lý hoán vị

Đó là về việc đặt hàng cụ thể tất cả hoặc một số yếu tố tạo nên một bộ, để tạo điều kiện cho việc đếm tất cả các sắp xếp có thể có thể được thực hiện với các yếu tố.

Số lượng hoán vị của n phần tử khác nhau, được thực hiện cùng một lúc, được biểu diễn dưới dạng:

nPn = n!

Ví dụ

Bốn người bạn muốn chụp ảnh và muốn biết có bao nhiêu hình thức khác nhau có thể được đặt hàng.

Giải pháp

Bạn muốn biết tập hợp tất cả các cách có thể trong đó 4 người có thể được đặt để chụp ảnh. Vì vậy, bạn phải:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 cách khác nhau.

Nếu số lượng hoán vị của n phần tử khả dụng được lấy bởi các phần của tập hợp được tạo bởi các phần tử r, thì nó được biểu diễn dưới dạng:

nPr = n! ÷ (n - r)!

Ví dụ

Trong một phòng học có 10 vị trí. Nếu 4 học sinh tham gia lớp học, học sinh có thể chiếm bao nhiêu vị trí khác nhau?

Giải pháp

Tổng số bộ ghế là 10 và chỉ có 4 chiếc này sẽ được sử dụng. Công thức đã cho được áp dụng để xác định số lượng hoán vị:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! (10 - 4)!

10P4 = 10! 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 6*5*4*3*2*1 = 5040 cách để điền vào bài viết.

Có những trường hợp trong đó một số phần tử có sẵn của một tập hợp được lặp lại (chúng giống nhau). Để tính số lượng sắp xếp lấy tất cả các phần tử cùng một lúc, công thức sau đây được sử dụng:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

Ví dụ

Có bao nhiêu từ khác nhau của bốn chữ cái có thể được hình thành từ từ "sói"?

Giải pháp

Trong trường hợp này, chúng ta có 4 phần tử (chữ cái) trong đó hai trong số chúng giống hệt nhau. Áp dụng công thức đã cho, chúng ta biết có bao nhiêu từ khác nhau:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 2 = 12 từ khác nhau.

Nguyên tắc kết hợp

Đó là về việc sửa tất cả hoặc một số thành phần tạo thành một bộ mà không có thứ tự cụ thể. Ví dụ: nếu bạn có một mảng XYZ, nó sẽ giống hệt với các mảng ZXY, YZX, ZYX, trong số các mảng khác; Điều này là do, mặc dù không theo cùng một thứ tự, các yếu tố của mỗi sắp xếp là như nhau.

Khi một số phần tử (r) của tập hợp (n) được thực hiện, nguyên tắc kết hợp được đưa ra theo công thức sau:

nCr = n! (N - r)! R!

Ví dụ

Trong một cửa hàng họ bán 5 loại sô cô la khác nhau. Có bao nhiêu cách khác nhau bạn có thể chọn 4 sôcôla?

Giải pháp

Trong trường hợp này, bạn phải chọn 4 sôcôla trong số 5 loại được bán trong cửa hàng. Thứ tự mà chúng được chọn không quan trọng và, ngoài ra, một loại sô cô la có thể được chọn nhiều hơn hai lần. Áp dụng công thức, bạn phải:

nCr = n! (N - r)! R!

5C4 = 5! (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 24 = 5 cách khác nhau để chọn 4 sôcôla.

Khi tất cả các phần tử (r) của tập hợp (n) được thực hiện, nguyên tắc kết hợp được đưa ra theo công thức sau:

nCn = n!

Bài tập đã giải quyết

Bài tập 1

Bạn có một đội bóng chày với 14 thành viên. Có bao nhiêu cách bạn có thể chỉ định 5 vị trí cho một trò chơi?

Giải pháp

Bộ này bao gồm 14 yếu tố và bạn muốn chỉ định 5 vị trí cụ thể; đó là, thứ tự đó có vấn đề Công thức hoán vị được áp dụng trong đó n phần tử khả dụng được lấy bởi các phần của tập hợp được tạo bởi r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Trong đó n = 14 và r = 5. Nó được thay thế trong công thức:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 cách để gán 9 vị trí trò chơi.

Bài tập 2

Nếu một gia đình gồm 9 thành viên đi du lịch và mua vé của họ với các ghế liên tiếp, họ có thể ngồi bao nhiêu cách khác nhau?

Giải pháp

Đó là khoảng 9 yếu tố sẽ chiếm 9 chỗ liên tiếp.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 cách ngồi khác nhau.

Tài liệu tham khảo

  1. Hopkins, B. (2009). Tài nguyên cho việc dạy toán rời rạc: Dự án lớp học, mô-đun lịch sử và bài viết.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Toán học rời rạc Giáo dục Pearson,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Giải bài toán hữu hạn và rời rạc. Biên tập viên Hiệp hội Nghiên cứu & Giáo dục.
  4. Padró, F. C. (2001). Toán học rời rạc Chính trị. xứ Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Toán cho khoa học ứng dụng. Reverte.