Anh em họ hàng tương đối là gì? Đặc điểm và ví dụ

Nó được gọi là anh em họ hàng (coprimos hoặc anh em họ hàng với nhau) với bất kỳ cặp số nguyên nào không có bất kỳ ước số chung nào, ngoại trừ 1.

Nói cách khác, hai số nguyên là anh em họ tương đối nếu trong phân tách của chúng bằng số nguyên tố, chúng không có yếu tố chung.

Ví dụ: nếu 4 và 25 được chọn, phân tách thừa số nguyên tố của mỗi lần lượt là 2² và 5². Vì nó được đánh giá cao, chúng không có bất kỳ yếu tố chung nào, do đó 4 và 25 là anh em họ hàng.

Mặt khác, nếu 6 và 24 được chọn, khi tiến hành phân tách chúng theo các thừa số nguyên tố, chúng ta thu được 6 = 2 * 3 và 24 = 2³ * 3.

Như bạn có thể thấy, hai biểu thức cuối cùng này có ít nhất một yếu tố chung, do đó, chúng không phải là số nguyên tố tương đối.

Anh em họ hàng

Một điều cần cẩn thận là việc nói rằng một cặp số nguyên là số nguyên tố tương đối là điều này không ngụ ý rằng bất kỳ số nào trong số chúng là số nguyên tố.

Mặt khác, định nghĩa trên có thể được tóm tắt như sau: hai số nguyên "a" và "b" là các số nguyên tố tương đối nếu và chỉ khi, ước số chung lớn nhất của các số này là 1, đó là mcd ( a, b) = 1.

Hai kết luận ngay lập tức của định nghĩa này là:

-Nếu "a" (hoặc "b") là số nguyên tố thì mcd (a, b) = 1.

-Nếu "a" và "b" là số nguyên tố thì mcd (a, b) = 1.

Nghĩa là, nếu ít nhất một trong các số được chọn là số nguyên tố, thì trực tiếp cặp số đó là số nguyên tố tương đối.

Các tính năng khác

Các kết quả khác được sử dụng để xác định xem hai số có phải là số nguyên tố tương đối hay không là:

-Nếu hai số nguyên liên tiếp thì đây là anh em họ hàng.

-Hai số tự nhiên "a" và "b" là các số nguyên tố tương đối nếu và chỉ khi các số "(2 ^ a) -1" và "(2 ^ b) -1" là các số nguyên tố tương đối.

-Hai số nguyên "a" và "b" là các số nguyên tố tương đối nếu và chỉ khi, bằng cách vẽ điểm (a, b) trong mặt phẳng Cartesian và xây dựng đường thẳng đi qua gốc (0,0) và (a) , b), điều này không chứa bất kỳ điểm nào với toàn bộ tọa độ.

Ví dụ

1.- Xét các số nguyên 5 và 12. Phân tích thừa số nguyên tố của cả hai số lần lượt là: 5 và 2² * 3. Tóm lại, gcd (5,12) = 1, do đó, 5 và 12 là các số nguyên tố tương đối.

2.- Đặt các số -4 và 6. Sau đó -4 = -2² và 6 = 2 * 3, sao cho LCD (-4,6) = 2 1. Trong kết luận -4 và 6 không phải là anh em họ hàng.

Nếu chúng ta tiến hành vẽ đồ thị đường đi qua các cặp theo thứ tự (-4,6) và (0,0) và xác định phương trình của đường này, chúng ta có thể xác minh rằng nó đi qua điểm (-2.3).

Một lần nữa, người ta kết luận rằng -4 và 6 không phải là anh em họ hàng.

3.- Các số 7 và 44 là số nguyên tố tương đối và có thể nhanh chóng kết luận nhờ vào số trên, vì 7 là số nguyên tố.

4.- Hãy xem xét các số 345 và 346. Là hai số liên tiếp được xác minh rằng mcd (345.346) = 1, do đó 345 và 346 là số nguyên tố tương đối.

5.- Nếu các số 147 và 74 được xem xét, thì đây là anh em họ tương đối, vì 147 = 3 * 7² và 74 = 2 * 37, do đó gcd (147,74) = 1.

6.- Các số 4 và 9 là số nguyên tố tương đối. Để chứng minh điều này, đặc tính thứ hai được đề cập ở trên có thể được sử dụng. Trong thực tế, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 và 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Các số thu được là 15 và 511. Phân tích thừa số nguyên tố của các số này lần lượt là 3 * 5 và 7 * 73, sao cho mcd (15,511) = 1.

Như bạn có thể thấy, sử dụng đặc tính thứ hai là một công việc dài hơn và tốn nhiều công sức hơn là xác minh trực tiếp.

7.- Hãy xem xét các số -22 và -27. Sau đó, những con số này có thể được viết lại như sau: -22 = -2 * 11 và -27 = -3³. Do đó, gcd (-22, -27) = 1, vì vậy -22 và -27 là các số nguyên tố tương đối.

Tài liệu tham khảo

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Giới thiệu về Lý thuyết số. KIẾM.
2. Bourdon, P. L. (1843). Các yếu tố số học. Hiệu sách của các lãnh chúa và con trai của Calleja.
3. Castañeda, S. (2016). Khóa học cơ bản về lý thuyết số. Đại học phía bắc.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Tập hợp các số nguyên. KIẾM.
5. Viện đào tạo giáo viên đại học (Tây Ban Nha), J. L. (2004). Số, hình thức và khối lượng trong môi trường trẻ em. Bộ giáo dục.
6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Toán thực hành: số học, đại số, hình học, lượng giác và quy tắc trượt (tái bản ed.). Reverte.
7. Rock, N. M. (2006). Đại số tôi là dễ dàng! Thật dễ dàng. Đội Rock Press.
8. Smith, S.A. (2000). Đại số. Giáo dục Pearson.
9. Szecsei, D. (2006). Toán cơ bản và tiền đại số (minh họa ed.). Báo chí nghề nghiệp.
10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Khóa học toán 2. Biên tập Progreso.
11. Wagner, G., Caiceso, A., & Colorado, H. (2010). Nguyên tắc cơ bản của số học. ELIZCOM S.A.S.