Chia sẻ:
Kỹ thuật đếm kỹ thuật, ứng dụng và ví dụ
các kỹ thuật đếm là một loạt các phương thức xác suất để đếm số lượng sắp xếp có thể có trong một tập hợp hoặc một vài bộ đối tượng. Chúng được sử dụng khi làm cho các tài khoản trở nên phức tạp do số lượng lớn các đối tượng và / hoặc biến.
Ví dụ, giải pháp cho vấn đề này rất đơn giản: hãy tưởng tượng rằng sếp của bạn yêu cầu bạn đếm những sản phẩm cuối cùng đã đến trong giờ qua. Trong trường hợp này, bạn có thể đi và đếm từng sản phẩm một.
Tuy nhiên, hãy tưởng tượng rằng vấn đề là ở đây: ông chủ của bạn yêu cầu bạn đếm xem có bao nhiêu nhóm 5 sản phẩm cùng loại có thể được hình thành với những người đã đến vào giờ cuối cùng. Trong trường hợp này, việc tính toán trở nên phức tạp. Cái gọi là kỹ thuật đếm được sử dụng cho loại tình huống này.
Những kỹ thuật này là một số, nhưng quan trọng nhất được chia thành hai nguyên tắc cơ bản, đó là nhân và phụ; hoán vị và kết hợp.
Chỉ số
- 1 nguyên tắc nhân
- 1.1 Ứng dụng
- 1.2 Ví dụ
- 2 Nguyên tắc phụ gia
- 2.1 Ứng dụng
- 2.2 Ví dụ
- 3 hoán vị
- 3.1 Ứng dụng
- 3.2 Ví dụ
- 4 kết hợp
- 4.1 Ứng dụng
- 4.2 Ví dụ
- 5 tài liệu tham khảo
Nguyên lý nhân
Ứng dụng
Nguyên lý nhân, cùng với phụ gia, là cơ bản để hiểu hoạt động của các kỹ thuật đếm. Trong trường hợp của phép nhân, nó bao gồm:
Hãy tưởng tượng một hoạt động bao gồm một số bước cụ thể (tổng số được đánh dấu là "r"), trong đó bước đầu tiên có thể được tạo từ các mẫu N1, bước thứ hai của N2 và bước "r" của các mẫu Nr. Trong trường hợp này, hoạt động có thể được thực hiện từ số lượng biểu mẫu do hoạt động này: biểu mẫu N1 x N2 x ... .x
Đó là lý do tại sao nguyên tắc này được gọi là nhân, và ngụ ý rằng mỗi bước cần thiết để thực hiện hoạt động phải được thực hiện lần lượt.
Ví dụ
Hãy tưởng tượng một người muốn xây dựng một trường học. Để làm điều này, hãy xem xét rằng cơ sở của tòa nhà có thể được xây dựng theo hai cách khác nhau, xi măng hoặc bê tông. Đối với các bức tường, chúng có thể được làm bằng adobe, xi măng hoặc gạch.
Đối với mái nhà, nó có thể được xây dựng bằng xi măng hoặc tấm mạ kẽm. Cuối cùng, bức tranh cuối cùng chỉ có thể được thực hiện theo một cách. Câu hỏi đặt ra là như sau: Trường có bao nhiêu cách để xây dựng??
Đầu tiên, chúng tôi xem xét số lượng các bước, sẽ là cơ sở, các bức tường, mái nhà và bức tranh. Tổng cộng có 4 bước, vì vậy r = 4.
Sau đây sẽ là danh sách N:
N1 = cách xây dựng cơ sở = 2
N2 = cách xây tường = 3
N3 = cách làm mái nhà = 2
N4 = cách làm sơn = 1
Do đó, số lượng các hình thức có thể sẽ được tính theo công thức được mô tả ở trên:
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 cách hoàn thành trường học.
Nguyên tắc phụ gia
Ứng dụng
Nguyên tắc này rất đơn giản, và trong trường hợp có nhiều lựa chọn thay thế hiện có để thực hiện cùng một hoạt động, các cách có thể bao gồm tổng của các cách khác nhau có thể để thực hiện tất cả các phương án.
Nói cách khác, nếu chúng ta muốn thực hiện một hoạt động với ba phương án, trong đó phương án đầu tiên có thể được thực hiện ở dạng M, lần thứ hai ở dạng N và lần cuối ở dạng W, hoạt động có thể được tạo thành: M + N + ... + W.
Ví dụ
Hãy tưởng tượng lần này một người muốn mua một cây vợt tennis. Đối với điều này, nó có ba thương hiệu để lựa chọn: Wilson, Babolat hoặc Head.
Khi anh ta đến cửa hàng, anh ta thấy rằng vợt Wilson có thể được mua bằng tay cầm của hai kích cỡ khác nhau, L2 hoặc L3 trong bốn mô hình khác nhau và có thể được xâu chuỗi hoặc không cần xâu chuỗi.
Mặt khác, vợt Babolat có ba tay cầm (L1, L2 và L3), có hai mô hình khác nhau và nó cũng có thể được xâu chuỗi hoặc không có dây.
Mặt khác, vợt Head chỉ có một tay cầm, L2, trong hai mô hình khác nhau và chỉ không có dây. Câu hỏi là: Người này phải mua vợt của mình bao nhiêu cách??
M = Số cách chọn vợt Wilson
N = Số cách chọn vợt Babolat
W = Số cách để chọn Vợt đầu
Chúng tôi thực hiện nguyên tắc số nhân:
M = 2 x 4 x 2 = 16 mẫu
N = 3 x 2 x 2 = 12 mẫu
W = 1 x 2 x 1 = 2 hình thức
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 cách chọn vợt.
Để biết khi nào nên sử dụng nguyên tắc nhân và phụ gia, bạn chỉ cần xem hoạt động có thực hiện một loạt các bước hay không và nếu có một vài lựa chọn thay thế, phụ gia.
Hoán vị
Ứng dụng
Để hiểu hoán vị là gì, điều quan trọng là phải giải thích sự kết hợp là gì để phân biệt chúng và biết khi nào nên sử dụng chúng.
Một sự kết hợp sẽ là sự sắp xếp của các yếu tố mà chúng ta không quan tâm đến vị trí mà mỗi người trong số họ chiếm giữ.
Mặt khác, hoán vị sẽ là sự sắp xếp các yếu tố mà chúng ta quan tâm đến vị trí mà mỗi người trong số họ chiếm giữ.
Hãy cho một ví dụ để hiểu rõ hơn về sự khác biệt.
Ví dụ
Hãy tưởng tượng một lớp học với 35 học sinh và với các tình huống sau:
- Giáo viên muốn ba học sinh của mình giúp anh ta giữ sạch lớp hoặc giao tài liệu cho các học sinh khác khi anh ta cần.
- Giáo viên muốn bổ nhiệm các đại biểu lớp (một chủ tịch, một trợ lý và một nhà tài chính).
Giải pháp sẽ như sau:
- Hãy tưởng tượng rằng bằng cách bỏ phiếu Juan, María và Lucía được chọn để dọn dẹp lớp học hoặc cung cấp tài liệu. Rõ ràng, các nhóm ba người khác có thể đã được thành lập, trong số 35 học sinh có thể.
Chúng ta phải tự hỏi mình như sau: điều quan trọng là thứ tự hay vị trí mà mỗi học sinh chiếm giữ tại thời điểm chọn chúng??
Nếu chúng ta nghĩ về nó, chúng ta thấy rằng nó thực sự không quan trọng, vì nhóm sẽ đảm nhiệm cả hai nhiệm vụ như nhau. Trong trường hợp này, nó là một sự kết hợp, vì chúng ta không quan tâm đến vị trí của các yếu tố.
- Bây giờ hãy tưởng tượng rằng John được chọn làm chủ tịch, Maria làm trợ lý và Lucia làm tài chính.
Trong trường hợp này, thứ tự sẽ có vấn đề? Câu trả lời là có, bởi vì nếu chúng ta thay đổi các yếu tố, kết quả sẽ thay đổi. Đó là, nếu thay vì đưa Juan làm chủ tịch, chúng tôi đưa anh ấy làm trợ lý và Maria làm chủ tịch, kết quả cuối cùng sẽ thay đổi. Trong trường hợp này, nó là một hoán vị.
Một khi sự khác biệt được hiểu, chúng ta sẽ có được các công thức hoán vị và kết hợp. Tuy nhiên, trước tiên, chúng ta phải định nghĩa thuật ngữ "n!" (Trong giai đoạn), vì nó sẽ được sử dụng trong các công thức khác nhau.
n! = cho sản phẩm từ 1 đến n.
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n
Sử dụng nó với số thực:
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3.628.800
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120
Công thức của hoán vị sẽ như sau:
nPr = n! / (n-r)!
Với nó, chúng ta có thể tìm ra sự sắp xếp trong đó thứ tự là quan trọng và nơi các phần tử n khác nhau.
Kết hợp
Ứng dụng
Như chúng tôi đã nhận xét trước đây, các kết hợp là sự sắp xếp mà chúng tôi không quan tâm đến vị trí của các yếu tố.
Công thức của nó là như sau:
nCr = n! / (n-r)! r!
Ví dụ
Nếu có 14 học sinh muốn tình nguyện dọn dẹp lớp học, mỗi nhóm có thể tạo ra bao nhiêu nhóm làm sạch??
Giải pháp, do đó, sẽ là như sau:
n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 nhóm
Tài liệu tham khảo
- Jeffrey, R.C., Xác suất và nghệ thuật phán đoán, Nhà xuất bản Đại học Cambridge. (1992).
- William Feller, "Giới thiệu về lý thuyết xác suất và ứng dụng của nó", (Tập 1), Ed 3, (1968), Wiley
- Finetti, Bruno de (1970). "Cơ sở logic và đo lường xác suất chủ quan". Đạo luật tâm lý.
- Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Giới thiệu về thống kê toán học (Tái bản lần thứ 6). Thượng yên sông: Pearson.
- Franklin, J. (2001) Khoa học phỏng đoán: Bằng chứng và xác suất trước Pascal,Nhà xuất bản Đại học Johns Hopkins.