Phương pháp tiên đề, các bước, ví dụ



các phương pháp tiên đề hay còn gọi là Axiomatics là một thủ tục chính thức được các khoa học sử dụng bằng cách sử dụng các câu lệnh hoặc mệnh đề được gọi là tiên đề, được kết nối với nhau bằng mối quan hệ khấu trừ và là cơ sở của giả thuyết hoặc điều kiện của một hệ thống nhất định.

Định nghĩa chung này phải được đóng khung trong quá trình tiến hóa mà phương pháp này đã có trong suốt lịch sử. Đầu tiên, có một phương pháp hoặc nội dung cổ xưa, được sinh ra ở Hy Lạp cổ đại từ Euclid và sau đó được phát triển bởi Aristotle.

Thứ hai, đã ở thế kỷ XIX, sự xuất hiện của một hình học với các tiên đề khác với Euclid. Và cuối cùng, phương pháp tiên đề chính thức hoặc hiện đại, có số mũ tối đa là David Hilbert.

Ngoài sự phát triển của nó theo thời gian, quy trình này là cơ sở của phương pháp suy luận được sử dụng trong hình học và logic nơi nó bắt nguồn. Nó cũng đã được sử dụng trong vật lý, hóa học và sinh học.

Và nó thậm chí đã được áp dụng cho khoa học pháp lý, xã hội học và kinh tế chính trị. Tuy nhiên, hiện tại lĩnh vực ứng dụng quan trọng nhất của nó là toán học và logic biểu tượng và một số ngành vật lý như nhiệt động lực học, cơ học, trong số các ngành khác.

Chỉ số

  • 1 Đặc điểm 
    • 1.1 Phương pháp hoặc nội dung tiên đề cũ 
    • 1.2 Phương pháp tiên đề phi Euclide
    • 1.3 Phương pháp tiên đề hiện đại hoặc chính thức
  • 2 bước 
  • 3 ví dụ
  • 4 tài liệu tham khảo

Tính năng

Mặc dù đặc điểm cơ bản của phương pháp này là xây dựng các tiên đề, nhưng chúng không phải luôn luôn được xem xét theo cùng một cách.

Có một số có thể được định nghĩa và xây dựng một cách tùy ý. Và những người khác, theo một mô hình trong đó sự thật được bảo đảm bằng trực giác của nó được xem xét.

Để hiểu cụ thể sự khác biệt này bao gồm những gì và hậu quả của nó, cần phải xem lại sự phát triển của phương pháp này.

Phương pháp hoặc nội dung tiên đề cũ 

Nó là một trong những thành lập ở Hy Lạp cổ đại vào khoảng thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. Lĩnh vực ứng dụng của nó là hình học. Công việc cơ bản của giai đoạn này là các yếu tố của Euclid, mặc dù người ta cho rằng trước đó, Pythagoras, đã sinh ra phương pháp tiên đề.

Do đó, người Hy Lạp lấy những sự thật nhất định làm tiên đề, mà không yêu cầu bất kỳ bằng chứng logic nào, nghĩa là không cần phải chứng minh, vì đối với họ, họ là một sự thật hiển nhiên.

Về phần mình, Euclide trình bày năm tiên đề cho hình học:

1-Cho hai điểm có một dòng chứa hoặc liên kết chúng.

2-Bất kỳ phân khúc nào cũng có thể được tiếp tục liên tục trên một dòng không giới hạn ở cả hai bên.

3-Bạn có thể vẽ một vòng tròn có tâm ở bất kỳ điểm nào và bán kính nào.

4-Góc phải đều giống nhau..

5-Lấy bất kỳ đường thẳng nào và bất kỳ điểm nào không nằm trong đó, có một đường thẳng song song với điểm đó và có chứa điểm đó. Tiên đề này được biết đến, sau này, là tiên đề của vĩ tuyến và cũng được phát âm là: bởi một điểm bên ngoài một đường thẳng có thể được vẽ song song.

Tuy nhiên, cả Euclid và các nhà toán học sau này, đều đồng ý rằng tiên đề thứ năm không rõ ràng bằng trực giác như số 4. Ngay cả trong thời Phục hưng đang cố gắng suy ra thứ năm của 4 cái còn lại, nhưng không thể.

Điều này làm cho rằng đã có từ thế kỷ XIX, những người duy trì năm người là những người ủng hộ hình học Euclide và những người từ chối thứ năm, là những người đã tạo ra hình học phi Euclide.

Phương pháp tiên đề phi Euclide

Chính xác là Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai và Johann Karl Friedrich Gauss, những người nhìn thấy khả năng xây dựng, không có mâu thuẫn, một hình học xuất phát từ các hệ tiên đề khác với các hệ tiên đề của Euclid. Điều này phá hủy niềm tin vào sự thật tuyệt đối hoặc một tiên nghiệm của các tiên đề và các lý thuyết xuất phát từ chúng.

Do đó, các tiên đề bắt đầu được quan niệm là điểm bắt đầu của một lý thuyết nhất định. Ngoài ra cả sự lựa chọn của họ và vấn đề về tính hợp lệ của chúng theo cách này hay cách khác, bắt đầu liên quan đến các sự kiện bên ngoài lý thuyết tiên đề.

Theo cách này xuất hiện các lý thuyết hình học, đại số và số học được xây dựng bằng phương pháp tiên đề.

Giai đoạn này lên đến đỉnh điểm với việc tạo ra các hệ tiên đề cho số học, chẳng hạn như Giuseppe Peano vào năm 1891; hình học của David Hubert vào năm 1899; các tuyên bố và tính toán vị ngữ của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell, ở Anh năm 1910; lý thuyết tiên đề về các bộ của Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo vào năm 1908.

Phương pháp tiên đề hiện đại hoặc chính thức

Chính David Hubert là người khởi xướng quan niệm về một phương pháp tiên đề chính thức và dẫn đến đỉnh cao của nó, David Hilbert.

Chính Hilbert là người chính thức hóa ngôn ngữ khoa học, coi các phát biểu của nó là công thức hoặc chuỗi các dấu hiệu không có ý nghĩa gì trong bản thân chúng. Họ chỉ có được ý nghĩa trong một giải thích nhất định.

Trong "Những điều cơ bản của hình học"Giải thích ví dụ đầu tiên về phương pháp này. Từ đây, hình học trở thành một khoa học về các hậu quả logic thuần túy, được rút ra từ một hệ thống các giả thuyết hoặc tiên đề, được khớp nối tốt hơn so với hệ thống Euclide.

Điều này là do trong hệ thống cũ, lý thuyết tiên đề dựa trên bằng chứng của các tiên đề. Trong khi nền tảng của lý thuyết chính thức được đưa ra bằng cách chứng minh sự không mâu thuẫn của các tiên đề của nó.

Các bước

Quy trình thực hiện cấu trúc tiên đề trong các lý thuyết khoa học thừa nhận:

a-sự lựa chọn của một số tiên đề nhất định, nghĩa là, một số mệnh đề của một lý thuyết nhất định được chấp nhận mà không cần phải chứng minh.

b-các khái niệm là một phần của các đề xuất này không được xác định trong khuôn khổ của lý thuyết đã cho.

c-quy tắc định nghĩa và suy luận của lý thuyết đã cho là cố định và cho phép đưa ra các khái niệm mới trong lý thuyết và suy luận một cách logic một số mệnh đề từ khác.

d - các mệnh đề khác của lý thuyết, nghĩa là định lý, được suy ra từ a trên cơ sở c.

Ví dụ

Phương pháp này có thể được xác minh thông qua việc chứng minh hai định lý Euclid nổi tiếng nhất: định lý chân và định lý chiều cao..

Cả hai đều phát sinh từ việc quan sát địa lý Hy Lạp này rằng khi chiều cao được vẽ tương ứng với cạnh huyền trong một tam giác vuông, hai tam giác xuất hiện nhiều hơn so với ban đầu. Các tam giác này tương tự nhau và đồng thời giống với tam giác gốc. Điều này giả định rằng các mặt tương đồng tương ứng của chúng là tỷ lệ thuận.

Có thể thấy rằng các góc đồng dạng trong các tam giác theo cách này xác minh sự giống nhau tồn tại giữa ba tam giác liên quan theo tiêu chí tương tự AAA. Tiêu chí này cho rằng khi hai tam giác có tất cả các góc bằng nhau thì chúng giống nhau.

Khi các tam giác được hiển thị là tương tự nhau, các tỷ lệ được chỉ định trong định lý đầu tiên có thể được thiết lập. Nó nói rằng trong một tam giác vuông, phép đo của mỗi cathetus là một tỷ lệ hình học trung bình giữa cạnh huyền và hình chiếu của cathetus trong đó..

Định lý thứ hai là chiều cao. Nó xác định rằng bất kỳ tam giác vuông nào có chiều cao được vẽ theo cạnh huyền là một trung bình tỷ lệ hình học giữa các phân đoạn được xác định bởi giá trị trung bình hình học đã nói trên cạnh huyền.

Tất nhiên cả hai định lý đều có nhiều ứng dụng trên khắp thế giới không chỉ trong lĩnh vực giáo dục, mà còn trong kỹ thuật, vật lý, hóa học và thiên văn học.

Tài liệu tham khảo

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Hình học, chủ nghĩa hình thức và trực giác: David Hilbert và phương pháp tiên đề chính thức (1895-1905). Tạp chí Triết học, Tập 39 Núm. 2, tr.121-146. Lấy từ revistas.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Tư tưởng thiếu suy nghĩ. Trong W.Ewald, biên tập viên, từ Kant đến Hilbert: một cuốn sách nguồn trong nền tảng của toán học. Tập II, trang 1105-1114. Nhà xuất bản Đại học Oxford. 2005 một.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Phương pháp tiên đề là gì? Synthese, tháng 11 năm 2011, tập 189, tr69-85. Lấy từ link.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Giới thiệu về triết lý của luật đương đại. (tr.48-49). Lấy từ sách.google.com.vn.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Phương pháp Axiomatic, bằng cách đọc của Ricardo Nirenberg, Fall 1996, Đại học tại Albany, Project Renaissance. Lấy từ Albany.edu.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert giữa bên chính thức và không chính thức của Toán học. Bản thảo tập. 38 không 2, Campinas tháng 7/8 năm 2015. Lấy từ scielo.br.