Bối cảnh lịch sử của hình học phân tích

các Bối cảnh lịch sử của hình học phân tích họ quay trở lại thế kỷ 17, khi Pierre de Fermat và René Descartes xác định ý tưởng cơ bản của họ. Phát minh của ông đã theo sự hiện đại hóa của đại số và ký hiệu đại số của François Viète.

Lĩnh vực này có cơ sở ở Hy Lạp cổ đại, đặc biệt là trong các tác phẩm của Apollonius và Euclid, người có ảnh hưởng lớn trong lĩnh vực toán học này.

Ý tưởng thiết yếu đằng sau hình học phân tích là mối quan hệ giữa hai biến, sao cho một biến là hàm của biến kia, xác định đường cong.

Ý tưởng này được phát triển lần đầu tiên bởi Pierre de Fermat. Nhờ khuôn khổ thiết yếu này, Isaac Newton và Gottfried Leibniz đã có thể phát triển phép tính.

Nhà triết học người Pháp Descartes cũng phát hiện ra một cách tiếp cận đại số cho hình học, dường như là của chính ông. Tác phẩm về hình học của Descartes xuất hiện trong cuốn sách nổi tiếng của ông Phát biểu của phương pháp.

Trong cuốn sách này đã chỉ ra rằng la bàn và các cấu trúc hình học của các cạnh thẳng liên quan đến phép cộng, phép trừ, phép nhân và căn bậc hai.

Hình học phân tích đại diện cho sự kết hợp của hai truyền thống quan trọng trong toán học: hình học là nghiên cứu về hình thức, và số học và đại số, liên quan đến số lượng hoặc số. Do đó, hình học phân tích là nghiên cứu về lĩnh vực hình học sử dụng các hệ tọa độ.

Lịch sử

Bối cảnh của hình học phân tích

Mối quan hệ giữa hình học và đại số đã phát triển trong suốt lịch sử toán học, mặc dù hình học đạt đến một mức độ trưởng thành sớm hơn.

Ví dụ, nhà toán học Hy Lạp Euclid đã có thể tổ chức nhiều kết quả trong cuốn sách kinh điển của mình Các yếu tố.

Nhưng chính Apollonius của Perga trong Hy Lạp cổ đại đã tiên đoán sự phát triển của hình học giải tích trong cuốn sách của ông Conics. Ông định nghĩa một hình nón là giao điểm giữa hình nón và mặt phẳng.

Sử dụng kết quả của Euclid trong các hình tam giác và vòng tròn tương tự, anh đã tìm thấy mối quan hệ được cho bởi khoảng cách từ bất kỳ điểm "P" nào của hình nón đến hai đường thẳng vuông góc, trục chính của hình nón và tiếp tuyến tại điểm cuối cùng của trục. Apollonius đã sử dụng mối quan hệ này để suy ra các tính chất cơ bản của hình nón.

Sự phát triển tiếp theo của các hệ tọa độ trong toán học chỉ xuất hiện sau khi đại số đã trưởng thành nhờ các nhà toán học Hồi giáo và Ấn Độ.

Cho đến khi hình học Phục hưng được sử dụng để biện minh cho các giải pháp cho các vấn đề đại số, nhưng không có nhiều đại số có thể đóng góp cho hình học.

Tình huống này sẽ thay đổi với việc áp dụng một ký hiệu thuận tiện cho các mối quan hệ đại số và sự phát triển của khái niệm hàm toán học, hiện đã có thể.

Thế kỷ XVI

Vào cuối thế kỷ XVI, nhà toán học người Pháp François Viète đã giới thiệu ký hiệu đại số hệ thống đầu tiên, sử dụng các chữ cái để biểu thị các đại lượng số, cả được biết và chưa biết.

Ông cũng đã phát triển các phương pháp tổng quát mạnh mẽ để làm việc với các biểu thức đại số và giải các phương trình đại số.

Nhờ vậy, các nhà toán học không hoàn toàn phụ thuộc vào các hình hình học và trực giác hình học để giải quyết các vấn đề.

Thậm chí, một số nhà toán học bắt đầu từ bỏ lối suy nghĩ hình học tiêu chuẩn, theo đó các biến tuyến tính có độ dài và hình vuông tương ứng với các khu vực, trong khi khối tương ứng với các khối lượng.

Người đầu tiên thực hiện bước này là nhà triết học và toán học René Descartes, và luật sư và nhà toán học Pierre de Fermat.

Nền tảng của hình học phân tích

Descartes và Fermat độc lập thành lập hình học phân tích trong những năm 1630, bằng cách áp dụng đại số Viète cho nghiên cứu về quỹ tích hình học.

Các nhà toán học nhận ra rằng đại số là một công cụ có sức mạnh lớn trong hình học và đã phát minh ra cái mà ngày nay được gọi là hình học phân tích.

Một tiến bộ họ đã thực hiện là vượt qua Viète bằng cách sử dụng các chữ cái để biểu thị các khoảng cách có thể thay đổi thay vì cố định..

Descartes đã sử dụng các phương trình để nghiên cứu các đường cong được xác định hình học và nhấn mạnh sự cần thiết phải xem xét các đường cong đại số đồ họa chung của phương trình đa thức theo độ "x" và "y".

Về phần mình, Fermat nhấn mạnh rằng bất kỳ mối quan hệ nào giữa tọa độ "x" và "và" đều xác định đường cong.

Sử dụng những ý tưởng này, ông tái cấu trúc các phát biểu của Apollonius về các thuật ngữ đại số và khôi phục một số tác phẩm đã mất của mình..

Fermat chỉ ra rằng bất kỳ phương trình bậc hai trong "x" và "y" đều có thể được đặt ở dạng chuẩn của một trong các phần hình nón. Mặc dù vậy, Fermat không bao giờ công bố công trình của mình về chủ đề này.

Nhờ những tiến bộ của nó, những gì Archimedes chỉ có thể giải quyết rất khó khăn và đối với các trường hợp bị cô lập, Fermat và Descartes có thể giải quyết nó nhanh chóng và cho một số lượng lớn các đường cong (hiện được gọi là các đường cong đại số).

Nhưng ý tưởng của ông chỉ đạt được sự chấp nhận chung thông qua những nỗ lực của các nhà toán học khác trong nửa sau của thế kỷ XVII.

Các nhà toán học Frans van Schooten, Florimond de Beaune và Johan de Witt đã giúp mở rộng công việc của Decartes và bổ sung thêm tài liệu quan trọng.

Ảnh hưởng

Ở Anh, John Wallis phổ biến hình học giải tích. Ông đã sử dụng các phương trình để xác định các hình nón và rút ra các thuộc tính của chúng. Mặc dù ông sử dụng tọa độ âm một cách tự do, nhưng chính Isaac Newton đã sử dụng hai trục xiên để chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư.

Newton và Gottfried Leibniz của Đức đã cách mạng hóa toán học vào cuối thế kỷ 17 bằng cách chứng minh độc lập sức mạnh của tính toán.

Newton đã chứng minh tầm quan trọng của các phương pháp phân tích trong hình học và vai trò của nó trong tính toán, khi ông khẳng định rằng bất kỳ khối lập phương (hoặc bất kỳ đường cong đại số bậc ba nào) đều có ba hoặc bốn phương trình chuẩn cho trục tọa độ phù hợp. Với sự giúp đỡ của chính Newton, nhà toán học người Scotland John Stirling đã chứng minh điều đó vào năm 1717.

Hình học phân tích của ba chiều trở lên

Mặc dù cả Descartes và Fermat đều đề xuất sử dụng ba tọa độ để nghiên cứu các đường cong và bề mặt trong không gian, hình học phân tích ba chiều phát triển chậm cho đến năm 1730.

Các nhà toán học Euler, Hermann và Clairaut đã đưa ra các phương trình tổng quát cho hình trụ, hình nón và bề mặt của cuộc cách mạng.

Ví dụ, Euler đã sử dụng các phương trình cho các bản dịch trong không gian để biến đổi bề mặt bậc hai chung, sao cho các trục chính của nó trùng với các trục tọa độ của nó.

Euler, Joseph-Louis Lagrange và Gaspard Monge đã tạo ra hình học phân tích độc lập với hình học tổng hợp (không phân tích).

Tài liệu tham khảo

1. Sự phát triển của hình học giải tích (2001). Phục hồi từ bách khoa toàn thư.com
2. Lịch sử hình học giải tích (2015). Phục hồi từ maa.org
3. Phân tích (Toán học). Phục hồi từ britannica.com
4. Hình học giải tích. Phục hồi từ britannica.com
5. Descartes và sự ra đời của hình học giải tích. Phục hồi từ scTHERirect.com