Chia sẻ:
Tính toán gần đúng bằng cách sử dụng vi sai
Một phép tính gần đúng trong toán học là một con số không phải là giá trị chính xác của một cái gì đó, nhưng nó gần với nó đến mức nó được coi là hữu ích như giá trị chính xác đó.
Khi các phép tính gần đúng được thực hiện trong toán học là do thủ công rất khó (hoặc đôi khi không thể) để biết giá trị chính xác của những gì được muốn.
Công cụ chính khi làm việc với các xấp xỉ là vi phân của hàm.
Vi phân của hàm f, ký hiệu là Δf (x), không nhiều hơn đạo hàm của hàm f nhân với sự thay đổi của biến độc lập, nghĩa là, f (x) = f '(x) * x.
Đôi khi df và dx được sử dụng thay vì Δf và x.
Phương pháp sử dụng vi sai
Công thức được áp dụng để thực hiện xấp xỉ thông qua vi phân phát sinh chính xác từ định nghĩa đạo hàm của hàm là giới hạn.
Công thức này được đưa ra bởi:
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.
Ở đây người ta hiểu rằng Δx = x - x0, do đó, x = x0 + x. Sử dụng công thức này có thể được viết lại thành
f (x0 + x) ≈ f (x0) + f '(x0) * x.
Cần lưu ý rằng "x0" không phải là một giá trị tùy ý, nhưng là một giá trị sao cho dễ dàng biết đến f (x0); Ngoài ra, "f (x)" chỉ là giá trị chúng tôi muốn ước tính.
Có xấp xỉ tốt hơn không?
Câu trả lời là có. Cái trước là đơn giản nhất của các xấp xỉ được gọi là "xấp xỉ tuyến tính".
Đối với các xấp xỉ chất lượng tốt hơn (sai số nhỏ hơn), các đa thức có nhiều dẫn xuất hơn gọi là "đa thức Taylor" được sử dụng, cũng như các phương pháp số khác như phương pháp Newton-Raphson..
Chiến lược
Chiến lược cần tuân thủ là:
- Chọn một hàm thích hợp f để thực hiện xấp xỉ và giá trị "x" sao cho f (x) là giá trị bạn muốn xấp xỉ.
- Chọn một giá trị "x0", gần với "x", sao cho dễ tính f (x0).
- Tính Δx = x-x0.
- Tính đạo hàm của hàm và f '(x0).
- Thay thế dữ liệu trong công thức.
Bài tập gần đúng đã giải
Trong phần tiếp theo, có một loạt các bài tập trong đó phép tính xấp xỉ được thực hiện bằng cách sử dụng vi phân.
Bài tập đầu tiên
Khoảng √3.
Giải pháp
Theo chiến lược, một chức năng thích hợp phải được chọn. Trong trường hợp này có thể thấy rằng hàm cần chọn phải là f (x) = x và giá trị gần đúng là f (3) = 3.
Bây giờ chúng ta phải chọn một giá trị "x0" gần với "3" để dễ dàng tính toán f (x0). Nếu bạn chọn "x0 = 2" thì bạn có "x0" gần với "3" nhưng f (x0) = f (2) = 2 không dễ tính.
Giá trị của "x0" thuận tiện là "4", vì "4" gần với "3" và f (x0) = f (4) = 4 = 2.
Nếu "x = 3" và "x0 = 4", thì x = 3-4 = -1. Bây giờ chúng ta tiến hành tính đạo hàm của f. Nghĩa là, f '(x) = 1/2 * x, sao cho f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.
Thay thế tất cả các giá trị trong công thức bạn nhận được:
√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.
Nếu một máy tính được sử dụng, nó thu được 3≈1.73205 ... Điều này cho thấy kết quả trước đó là một xấp xỉ tốt của giá trị thực.
Bài tập thứ hai
Khoảng 10.
Giải pháp
Như trước nó được chọn là hàm f (x) = x và trong trường hợp này x = 10.
Giá trị của x0 phải được chọn trong cơ hội này là "x0 = 9". Khi đó ta có x = 10-9 = 1, f (9) = 3 và f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.
Khi đánh giá trong công thức bạn nhận được rằng
√10 = f (10) 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...
Sử dụng một máy tính bạn nhận được √10 3.1622776 ... Ở đây bạn cũng có thể thấy rằng một xấp xỉ tốt đã đạt được trước đó.
Bài tập thứ ba
Xấp xỉ ³√10, trong đó biểu thị căn bậc ba.
Giải pháp
Rõ ràng hàm nên được sử dụng trong bài tập này là f (x) = x và giá trị của "x" phải là "10".
Một giá trị gần với "10" sao cho gốc khối của nó được biết là "x0 = 8". Khi đó ta có x = 10-8 = 2 và f (x0) = f (8) = 2. Chúng ta cũng có f '(x) = 1/3 * x² và do đó f' (8) = 1/3 * 8² = 1/3 * 64 = 1/3 * 4 = 1/12.
Thay thế dữ liệu trong công thức, có được rằng:
³√10 = f (10) 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .
Máy tính nói rằng ³√10 2,15443469 ... Do đó, phép tính gần đúng được tìm thấy là tốt.
Bài tập thứ tư
Xấp xỉ ln (1.3), trong đó "ln" biểu thị hàm logarit tự nhiên.
Giải pháp
Đầu tiên, hàm f (x) = ln (x) được chọn và giá trị của "x" là 1,3. Bây giờ, biết một chút về hàm logarit, chúng ta có thể biết rằng ln (1) = 0, và "1" cũng gần với "1.3". Do đó, "x0 = 1" được chọn và do đó Δx = 1,3 - 1 = 0,3.
Mặt khác f '(x) = 1 / x, sao cho f' (1) = 1. Khi đánh giá theo công thức đã cho, bạn phải:
ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.
Khi sử dụng máy tính, bạn phải ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Vì vậy, phép tính gần đúng là tốt.
Tài liệu tham khảo
- Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Toán học Precalculus. Hội trường Prentice.
- Fleming, W., & Varberg, D. E. (1989). Toán học Precalculus: một cách tiếp cận giải quyết vấn đề (2, Minh họa chủ biên.). Michigan: Hội trường Prentice.
- Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Đại số và lượng giác với hình học phân tích. Giáo dục Pearson.
- Larson, R. (2010). Tiền ung thư (8 ed.). Học hỏi.
- Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Hình học phân tích phẳng. Mérida - Venezuela: Biên tập tiếng Venezuela C. A.
- Pérez, C. D. (2006). Tiền ung thư. Giáo dục Pearson.
- Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Tính toán (Tái bản lần thứ chín). Hội trường Prentice.
- Saenz, J. (2005). Phép tính vi phân với các hàm siêu việt sớm cho Khoa học và Kỹ thuật (Ấn bản thứ hai.). Hypotenuse.
- Scott, C. A. (2009). Hình học mặt phẳng Cartesian, Phần: Conics phân tích (1907) (tái bản ed.). Nguồn sét.
- Sullivan, M. (1997). Tiền ung thư. Giáo dục Pearson.