Đạo hàm đại số (có ví dụ)

các dẫn xuất đại số chúng bao gồm trong nghiên cứu về đạo hàm trong trường hợp cụ thể của các hàm đại số. Nguồn gốc của khái niệm phái sinh quay trở lại Hy Lạp cổ đại. Sự phát triển của khái niệm này được thúc đẩy bởi nhu cầu giải quyết hai vấn đề quan trọng, một trong vật lý và một trong toán học.

Trong vật lý, đạo hàm giải quyết vấn đề xác định vận tốc tức thời của một vật chuyển động. Trong toán học, bạn có thể tìm đường tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm cho trước.

Mặc dù thực sự còn nhiều vấn đề khác được giải quyết bằng cách sử dụng công cụ phái sinh, cũng như khái quát hóa của nó, kết quả xuất hiện sau khi đưa ra khái niệm của nó.

Những người tiên phong của phép tính vi phân là Newton và Leibniz. Trước khi đưa ra định nghĩa chính thức, chúng tôi sẽ phát triển ý tưởng phía sau, từ quan điểm toán học và vật lý.

Chỉ số

• 1 Đạo hàm là độ dốc của đường tiếp tuyến với đường cong
• 2 Đạo hàm là vận tốc tức thời của vật chuyển động
  • 2.1 Hàm đại số
• 3 quy tắc phái sinh
  • 3.1 Xuất phát từ một hằng số
  • 3.2 Đạo hàm của một quyền lực
  • 3.3 Xuất phát từ phép cộng và phép trừ
  • 3.4 Đạo hàm của sản phẩm
  • 3.5 Bắt nguồn từ một thương số
  • 3.6 Quy tắc của chuỗi
• 4 tài liệu tham khảo

Đạo hàm là độ dốc của đường tiếp tuyến với một đường cong

Giả sử rằng đồ thị của hàm y = f (x) là đồ thị liên tục (không có đỉnh hoặc đỉnh hoặc phân tách) và đặt A = (a, f (a)) là một điểm cố định trên nó. Chúng ta muốn tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm f tại điểm A.

Lấy bất kỳ điểm P = (x, f (x)) nào khác của đồ thị, gần với điểm A và vẽ đường thẳng đi qua A và P. Đường thẳng là một đường cắt đồ thị của một đường cong trong một hoặc nhiều điểm hơn.

Để có được đường tiếp tuyến mà chúng ta muốn, chúng ta chỉ cần tính độ dốc vì chúng ta đã có một điểm trên đường: điểm A.

Nếu chúng ta di chuyển điểm P dọc theo biểu đồ và đưa nó đến gần và gần hơn với điểm A, dòng secant đã nói ở trên sẽ tiếp cận đường tiếp tuyến mà chúng ta muốn tìm. Lấy giới hạn khi "P có xu hướng A", cả hai đường thẳng sẽ trùng nhau, do đó độ dốc của nó cũng.

Độ dốc của đường secant được cho bởi

Để nói rằng P tiếp cận A tương đương với việc nói rằng "x" tiếp cận "a". Do đó, độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị của f tại điểm A, sẽ bằng:

Biểu thức trên được ký hiệu là f '(a) và được định nghĩa là đạo hàm của hàm f tại điểm "a". Khi đó, chúng ta thấy rằng về mặt phân tích, đạo hàm của một điểm trong một điểm là một giới hạn, nhưng về mặt hình học, nó là độ dốc của đường tiếp tuyến với biểu đồ của hàm trong điểm.

Bây giờ chúng ta sẽ thấy khái niệm này từ quan điểm của vật lý. Chúng ta sẽ đi đến cùng một biểu thức của giới hạn trước đó, mặc dù bằng một cách khác, có được sự nhất trí của định nghĩa.

Đạo hàm như vận tốc tức thời của vật chuyển động

Chúng ta hãy xem một ví dụ ngắn gọn về ý nghĩa của tốc độ tức thì. Ví dụ, khi người ta nói rằng một chiếc xe để đến đích đã làm như vậy với tốc độ 100 km mỗi giờ, điều đó có nghĩa là trong một giờ nó đã đi được 100 km.

Điều này không nhất thiết có nghĩa là trong suốt cả giờ chiếc xe luôn ở cách xa 100 km, đồng hồ tốc độ của chiếc xe có thể trong một số khoảnh khắc đánh dấu ít hoặc nhiều. Nếu anh ta có nhu cầu dừng lại ở đèn giao thông, tốc độ tại thời điểm đó là 0 km. Tuy nhiên, sau một giờ, tuyến đường đã đi được 100 km..

Đây là những gì được gọi là tốc độ trung bình và được đưa ra bởi thương số của quãng đường di chuyển giữa thời gian trôi qua, như chúng ta vừa thấy. Tốc độ tức thời, mặt khác, là tốc độ đánh dấu kim của đồng hồ tốc độ của ô tô trong một thời gian tức thời (xác định).

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào điều này nói chung hơn. Giả sử rằng một vật di chuyển dọc theo một đường và sự dịch chuyển này được biểu diễn bằng phương trình s = f (t), trong đó biến t đo thời gian và biến s dịch chuyển, có tính đến điểm bắt đầu của nó tức thời t = 0, tại thời điểm đó cũng bằng 0, nghĩa là f (0) = 0.

Hàm f (t) này được gọi là hàm vị trí.

Một biểu thức được tìm kiếm cho vận tốc tức thời của vật thể tại một thời điểm cố định "a". Ở tốc độ này, chúng tôi sẽ biểu thị nó bằng V (a).

Hãy để bất kỳ ngay lập tức gần với "a" ngay lập tức. Trong khoảng thời gian giữa "a" và "t", sự thay đổi vị trí của đối tượng được cho bởi f (t) -f (a).

Tốc độ trung bình trong khoảng thời gian này là:

Đó là một xấp xỉ của vận tốc tức thời V (a). Giá trị gần đúng này sẽ tốt hơn khi t tiến gần hơn đến "a". Do đó,

Quan sát rằng biểu thức này bằng với biểu thức thu được trong trường hợp trước, nhưng từ một góc nhìn khác. Đây là cái được gọi là đạo hàm của hàm f tại một điểm "a" và được ký hiệu là f '(a), như đã nêu ở trên.

Lưu ý rằng thực hiện thay đổi h = x-a, chúng ta có rằng khi "x" có xu hướng "a", "h" có xu hướng về 0 và giới hạn trước đó được chuyển đổi (tương đương) thành:

Cả hai biểu thức là tương đương nhưng đôi khi tốt hơn là sử dụng một thay vì khác, tùy thuộc vào trường hợp.

Đạo hàm của hàm f sau đó được định nghĩa chung hơn tại bất kỳ điểm "x" nào thuộc về miền của nó là

Ký hiệu thông thường nhất để biểu diễn đạo hàm của hàm y = f (x) là ký hiệu chúng ta vừa thấy (f 'o và'). Tuy nhiên, một ký hiệu khác được sử dụng rộng rãi là ký hiệu Leibniz được biểu thị dưới dạng bất kỳ biểu thức nào sau đây:

Theo quan điểm của thực tế là đạo hàm thực chất là một giới hạn, nó có thể tồn tại hoặc không tồn tại, bởi vì các giới hạn không phải lúc nào cũng tồn tại. Nếu nó tồn tại, người ta nói rằng hàm trong câu hỏi là khác biệt tại điểm đã cho.

Hàm đại số

Hàm đại số là sự kết hợp của đa thức bằng các tổng, trừ, sản phẩm, chỉ tiêu, quyền hạn và gốc tự do.

Đa thức là một biểu thức của dạng

P_n= a_nxⁿ+ một_n-1x^n-1+ một_n-2x^n-2+... + a₂x²+ một₁x + a₀

Trong đó n là số tự nhiên và tất cả các_tôi, với i = 0,1, ..., n, là các số hữu tỷ và a_n≠ 0 Trong trường hợp này người ta nói rằng mức độ của đa thức này là n.

Sau đây là các ví dụ về các hàm đại số:

Ở đây không bao gồm các hàm số mũ, logarit và lượng giác. Các quy tắc đạo hàm mà chúng ta sẽ thấy dưới đây là hợp lệ cho các hàm nói chung, nhưng chúng ta sẽ hạn chế và áp dụng chúng trong trường hợp các hàm đại số.

Bỏ qua quy tắc

Xuất phát từ một hằng số

Nó xác định rằng đạo hàm của một hằng số bằng không. Nghĩa là, nếu f (x) = c, thì f '(x) = 0. Ví dụ: đạo hàm của hàm 2 không đổi bằng 0.

Xuất phát từ một sức mạnh

Nếu f (x) = xⁿ, thì f '(x) = nx^n-1. Ví dụ: đạo hàm của x³ Đó là 3x². Do đó, chúng ta có được rằng đạo hàm của hàm nhận dạng f (x) = x là f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Một ví dụ khác như sau: be f (x) = 1 / x², thì f (x) = x^-2 và f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Tài sản này cũng là gốc hợp lệ, bởi vì gốc là sức mạnh hợp lý và bạn có thể áp dụng những điều trên cũng trong trường hợp đó. Ví dụ: đạo hàm của căn bậc hai được cho bởi

Xuất phát từ một tổng và một phép trừ

Nếu f và g là các hàm phân biệt trong x, thì tổng f + g cũng khác nhau và (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Tương tự, chúng ta có (f - g) '(x) = f' (x) -g '(x). Nói cách khác, đạo hàm của một tổng (trừ), là tổng (hoặc trừ) của các đạo hàm.

Ví dụ

Nếu h (x) = x²+x-1, sau đó

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Xuất phát từ một sản phẩm

Nếu f và g là các hàm phân biệt trong x, thì fg của sản phẩm cũng khác biệt trong x và nó được đáp ứng rằng

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Kết quả là chúng ta có nếu c là hằng số và f là hàm phân biệt trong x, thì cf cũng có thể phân biệt trong x và (cf) '(x) = cf' (X).

Ví dụ

Nếu f (x) = 3x (x²+1), sau đó

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2 lần^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Xuất phát từ một thương số

Nếu f và g khác nhau ở x và g (x) 0, thì f / g cũng khác nhau ở x, và đúng là

Ví dụ: nếu h (x) = x³/ (x²-5x), sau đó

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Quy tắc chuỗi

Quy tắc này cho phép phái sinh thành phần của các chức năng. Nó thiết lập như sau: nếu y = f (u) là khác biệt trong u, yu = g (x) là khác biệt trong x, thì hàm tổng hợp f (g (x)) là khác biệt trong x và nó hài lòng rằng [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Nghĩa là, đạo hàm của hàm tổng hợp là tích của đạo hàm của hàm ngoài (đạo hàm ngoài) bởi đạo hàm của hàm nội (đạo hàm trong).

Ví dụ

Nếu f (x) = (x⁴-2 lần)³, sau đó

f '(x) = 3 (x⁴-2 lần)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2 lần)²(4 lần³-2).

Cũng có kết quả để tính đạo hàm của nghịch đảo của hàm, cũng như tổng quát hóa cho các đạo hàm bậc cao hơn. Các ứng dụng rộng rãi. Trong số đó, họ nhấn mạnh các tiện ích của họ trong các vấn đề tối ưu hóa và tối đa và tối thiểu các chức năng.

Tài liệu tham khảo

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Tính toán vi phân. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Tính toán 4000. Biên tập Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Toán học trước khi tính toán. Đại học Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Giới thiệu về Tính toán. Phiên bản ngưỡng.
5. Nguồn, A. (2016). TOÁN HỌC CƠ BẢN. Giới thiệu về tính toán. Lulu.com.
6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E., & Varberg, D. E. (2007). Tính toán. Giáo dục Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Tính toán vi phân (Tái bản lần thứ hai). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Tính toán: một số biến. Giáo dục Pearson.