Đạo hàm liên tiếp (với các bài tập đã giải)

các dẫn xuất liên tiếp là các đạo hàm của hàm sau đạo hàm thứ hai. Quá trình tính các đạo hàm kế tiếp như sau: chúng ta có hàm f, chúng ta có thể suy ra và do đó có được hàm đạo hàm f '. Với đạo hàm này của f, chúng ta có thể lấy lại nó, lấy (f ')'.

Hàm mới này được gọi là đạo hàm thứ hai; tất cả các dẫn xuất được tính từ lần thứ hai là liên tiếp; Chúng, còn được gọi là bậc cao hơn, có các ứng dụng tuyệt vời, chẳng hạn như cung cấp thông tin về đồ thị của đồ thị của hàm, phép thử đạo hàm thứ hai cho các cực trị tương đối và xác định chuỗi vô hạn.

Chỉ số

1 Định nghĩa
- 1.1 Ví dụ 1
- 1.2 Ví dụ 2
2 Tốc độ và gia tốc
- 2.1 Ví dụ 1
- 2.2 Ví dụ 2
3 ứng dụng
- 3.1 Đạo hàm Mplified
- 3.2 Ví dụ
- 3.3 Kết thúc tương đối
- 3,4 Ví dụ
- 3.5 loạt Taylor
- 3.6 Ví dụ
4 tài liệu tham khảo

Định nghĩa

Sử dụng ký hiệu Leibniz, chúng ta có đạo hàm của hàm "và" đối với "x" là dy / dx. Để diễn tả đạo hàm thứ hai của "và" bằng cách sử dụng ký hiệu Leibniz, chúng tôi viết như sau:

Nói chung, chúng ta có thể biểu thị các đạo hàm liên tiếp như sau với ký hiệu Leibniz, trong đó n đại diện cho thứ tự của đạo hàm.

Các ký hiệu khác được sử dụng là như sau:

Một số ví dụ nơi chúng ta có thể thấy các ký hiệu khác nhau là:

Ví dụ 1

Lấy tất cả các đạo hàm của hàm f được xác định bởi:

Sử dụng các kỹ thuật phái sinh thông thường, chúng ta có đạo hàm của f là:

Bằng cách lặp lại quá trình, chúng ta có thể có được đạo hàm thứ hai, đạo hàm thứ ba, v.v..

Lưu ý rằng đạo hàm thứ tư bằng 0 và đạo hàm bằng 0, vì vậy chúng ta phải:

Ví dụ 2

Tính đạo hàm thứ tư của hàm sau:

Kết quả của hàm đã cho, chúng ta có kết quả:

Tốc độ và gia tốc

Một trong những động lực dẫn đến việc phát hiện ra đạo hàm là việc tìm kiếm định nghĩa của vận tốc tức thời. Định nghĩa chính thức là như sau:

Đặt y = f (t) là một hàm có đồ thị mô tả quỹ đạo của hạt trong một khoảnh khắc t, sau đó tốc độ của nó ngay lập tức được đưa ra bởi:

Sau khi có được vận tốc của hạt, chúng ta có thể tính gia tốc tức thời, được định nghĩa như sau:

Gia tốc tức thời của một hạt có đường đi được cho bởi y = f (t) là:

Ví dụ 1

Một hạt di chuyển trên một dòng theo chức năng vị trí:

Trong đó "y" được đo bằng mét và "t" tính bằng giây.

- Ngay lúc đó tốc độ của bạn là 0?

- Ngay lúc đó gia tốc của bạn là 0?

Khi lấy hàm vị trí "và" chúng ta có tốc độ và gia tốc của nó được đưa ra tương ứng bằng cách:

Để trả lời câu hỏi đầu tiên, đủ để xác định khi hàm v trở thành 0; đây là:

Chúng tôi tiến hành tương tự với câu hỏi sau đây:

Ví dụ 2

Một hạt chuyển động trên một đường theo phương trình chuyển động sau:

Xác định "t, y" và "v" khi a = 0.

Biết rằng tốc độ và gia tốc được đưa ra bởi

Chúng tôi tiến hành lấy và lấy:

Bằng cách thực hiện a = 0, chúng ta có:

Từ đó ta có thể suy ra rằng giá trị của t để a bằng 0 là t = 1.

Sau đó, đánh giá hàm vị trí và hàm vận tốc tại t = 1, chúng ta phải:

Ứng dụng

Đạo hàm Mplified

Các dẫn xuất kế tiếp cũng có thể thu được bằng đạo hàm ngầm.

Ví dụ

Cho hình elip sau, tìm "và":

Xuất phát ngầm đối với x, chúng ta có:

Sau đó, bằng cách lấy lại ngầm định đối với x, nó cho chúng ta:

Cuối cùng, chúng ta có:

Kết thúc tương đối

Một cách sử dụng khác mà chúng ta có thể đưa ra cho các đạo hàm của bậc hai là tính toán các đầu tương đối của hàm.

Tiêu chí của đạo hàm đầu tiên cho cực trị cục bộ cho chúng ta biết rằng, nếu chúng ta có hàm f liên tục trong một phạm vi (a, b) và tồn tại một c thuộc khoảng đó sao cho f'is bị hủy trong c (nghĩa là c là một điểm quan trọng), một trong ba trường hợp này có thể xảy ra:

- Nếu f '(x)> 0 với bất kỳ x thuộc (a, c) và f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Nếu f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 cho x thuộc về (c, b), thì f (c) là tối thiểu cục bộ.

- Nếu f '(x) có cùng dấu (a, c) và trong (c, b), thì ngụ ý rằng f (c) không phải là điểm cuối cục bộ.

Sử dụng tiêu chí của đạo hàm thứ hai, chúng ta có thể biết liệu số quan trọng của hàm là tối đa hay tối thiểu cục bộ, mà không cần phải xem dấu hiệu của hàm trong các khoảng đã nói ở trên là gì.

Tiêu chí của đạo hàm thứ hai cho chúng ta biết rằng nếu f '(c) = 0 và f "(x) liên tục trong (a, b), thì điều đó xảy ra nếu f" (c)> 0 thì f (c) là a tối thiểu cục bộ và nếu f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Nếu f "(c) = 0, chúng tôi không thể kết luận bất cứ điều gì.

Ví dụ

Cho hàm số f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4 lần², tìm cực đại tương đối và cực tiểu của f áp dụng tiêu chí của đạo hàm cấp hai.

Đầu tiên chúng ta tính f '(x) và f "(x) và chúng ta có:

f '(x) = 4x³ + 4 lần² - 8

f "(x) = 12x² + 8-8

Bây giờ, f '(x) = 0 nếu và chỉ khi 4x (x + 2) (x - 1) = 0 và điều này xảy ra khi x = 0, x = 1 hoặc x = - 2.

Để xác định xem các số quan trọng thu được có cực trị tương đối hay không, nó đủ để đánh giá trong f "và do đó quan sát dấu hiệu của nó.

f "(0) = - 8, vì vậy f (0) là mức tối đa cục bộ.

f "(1) = 12, vì vậy f (1) là mức tối thiểu cục bộ.

f "(- 2) = 24, vì vậy f (- 2) là mức tối thiểu cục bộ.

Loạt Taylor

Đặt f là hàm được định nghĩa như sau:

Hàm này có bán kính hội tụ R> 0 và có đạo hàm của tất cả các đơn hàng trong (-R, R). Các dẫn xuất liên tiếp của f cung cấp cho chúng tôi:

Lấy x = 0, chúng ta có thể nhận được các giá trị của c_n dựa trên các dẫn xuất của nó như sau:

Nếu chúng ta lấy n = 0 làm hàm f (nghĩa là f ^ 0 = f), thì chúng ta có thể viết lại hàm như sau:

Bây giờ hãy xem xét hàm như một chuỗi các lũy thừa trong x = a:

Nếu chúng ta thực hiện phân tích tương tự như trước, chúng ta sẽ phải viết hàm f là:

Những loạt này được gọi là loạt Taylor của f trong a. Khi a = 0, chúng ta có trường hợp cụ thể được gọi là chuỗi Maclaurin. Loại sê-ri này có tầm quan trọng toán học lớn, đặc biệt là trong phân tích số, vì nhờ chúng mà chúng ta có thể định nghĩa các hàm trong các máy tính như^x , tội lỗi (x) và cos (x).

Ví dụ

Nhận loạt Maclaurin cho e^x.

Lưu ý rằng nếu f (x) = e^x, sau đó f⁽ⁿ⁾(x) = e^x và f⁽ⁿ⁾(0) = 1, đó là lý do tại sao loạt Maclaurin của anh ấy là:

Tài liệu tham khảo

Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). Tính toán 5ed. Đồi Mc Graw.
Leithold, L. (1992). TÍNH TOÁN với Hình học Phân tích. HARLA, S.A.
Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Tính toán. Mexico: Giáo dục Pearson.
Saenz, J. (2005). Tính toán vi phân. Hypotenuse.
Saenz, J. (s.f.). Tính toán toàn diện. Hypotenuse.

Toán học

« Đạo hàm đại số (có ví dụ) Danh pháp dẫn xuất halogen, tính chất, công dụng và ví dụ »