Chia sẻ:
Phân phối các đặc điểm và bài tập xác suất rời rạc
các Phân phối xác suất rời rạc là một hàm gán cho từng phần tử của X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., trong đó X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhất định và S là không gian mẫu của nó, xác suất xảy ra sự kiện nói trên. Hàm f này của X (S) được định nghĩa là f (xi) = P (X = xi) đôi khi được gọi là hàm khối lượng xác suất.
Khối lượng xác suất này thường được biểu diễn dưới dạng bảng. Vì X là một biến ngẫu nhiên rời rạc, X (S) có số lượng sự kiện hữu hạn hoặc vô hạn có thể đếm được. Trong số các phân phối xác suất rời rạc phổ biến nhất, chúng tôi có phân phối đồng đều, phân phối nhị thức và phân phối Poisson.
Chỉ số
- 1 Đặc điểm
- 2 loại
- 2.1 Phân phối đồng đều trên n điểm
- 2.2 Phân phối nhị thức
- 2.3 Phân phối Poisson
- 2.4 Phân phối siêu bội
- 3 bài tập đã giải
- 3.1 Bài tập đầu tiên
- 3.2 Bài tập thứ hai
- 3.3 Bài tập thứ ba
- 3,4 Bài tập thứ ba
- 4 tài liệu tham khảo
Tính năng
Hàm phân phối xác suất phải đáp ứng các điều kiện sau:
Ngoài ra, nếu X chỉ lấy một số giá trị hữu hạn (ví dụ x1, x2, ..., xn), thì p (xi) = 0 nếu i> ny, do đó, chuỗi vô hạn của điều kiện b trở thành a loạt hữu hạn.
Hàm này cũng đáp ứng các thuộc tính sau:
Đặt B là một sự kiện liên quan đến biến ngẫu nhiên X. Điều này có nghĩa là B được chứa trong X (S). Cụ thể, giả sử rằng B = xi1, xi2, .... Do đó:
Nói cách khác: xác suất của một sự kiện B bằng tổng xác suất của các kết quả riêng lẻ liên quan đến B.
Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng nếu một < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b) son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:
Các loại
Phân phối đồng đều trên n điểm
Người ta nói rằng một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối được đặc trưng bởi tính đồng nhất ở n điểm nếu mỗi giá trị được gán cùng một xác suất. Hàm khối lượng xác suất của nó là:
Giả sử chúng ta có một thử nghiệm có hai kết quả có thể xảy ra, đó có thể là việc tung đồng xu mà kết quả có thể là mặt hoặc tem hoặc lựa chọn toàn bộ số có kết quả có thể là số chẵn hoặc số lẻ; loại thí nghiệm này được gọi là thử nghiệm của Bernoulli.
Nói chung, hai kết quả có thể được gọi là thành công và thất bại, trong đó p là xác suất thành công và 1 p là thất bại. Chúng tôi có thể xác định xác suất x thành công trong n thử nghiệm Bernoulli độc lập với nhau với phân phối sau.
Phân phối nhị thức
Đó là chức năng đại diện cho xác suất đạt được x thành công trong n thử nghiệm Bernoulli độc lập, có xác suất thành công là p. Hàm khối lượng xác suất của nó là:
Biểu đồ sau biểu thị khối lượng xác suất của các giá trị khác nhau của các tham số của phân phối nhị thức.
Phân phối sau có tên của nhà toán học người Pháp Simeon Poisson (1781-1840), người đã lấy nó làm giới hạn của phân phối nhị thức..
Phân phối Poisson
Người ta nói rằng một biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson của tham số λ khi nó có thể lấy các giá trị nguyên dương 0,1,2,3, ... với xác suất sau:
Trong biểu thức này là số trung bình tương ứng với các lần xuất hiện của sự kiện cho mỗi đơn vị thời gian và x là số lần xảy ra sự kiện.
Hàm khối lượng xác suất của nó là:
Tiếp theo, một biểu đồ biểu thị hàm khối lượng xác suất cho các giá trị khác nhau của các tham số của phân phối Poisson.
Lưu ý rằng, miễn là số lượng thành công thấp và số n thử nghiệm được thực hiện trong phân phối nhị thức cao, chúng ta luôn có thể tính gần đúng các phân phối này, vì phân phối Poisson là giới hạn của phân phối nhị thức..
Sự khác biệt chính giữa hai phân phối này là, trong khi nhị thức phụ thuộc vào hai tham số - cụ thể là n và p -, thì Poisson chỉ phụ thuộc vào, đôi khi được gọi là cường độ phân phối.
Cho đến nay chúng ta chỉ nói về phân phối xác suất cho các trường hợp trong đó các thí nghiệm khác nhau độc lập với nhau; đó là, khi kết quả của một người không bị ảnh hưởng bởi một số kết quả khác.
Khi trường hợp có các thí nghiệm không độc lập xảy ra, phân phối siêu bội là rất hữu ích.
Phân phối siêu âm
Gọi N là tổng số đối tượng của một tập hữu hạn, trong đó chúng ta có thể xác định k của những đối tượng này theo một cách nào đó, tạo thành một tập hợp con K, có phần bù được tạo bởi các phần tử N-k còn lại.
Nếu chúng ta chọn ngẫu nhiên n đối tượng, biến ngẫu nhiên X đại diện cho số lượng đối tượng thuộc K trong cuộc bầu cử đó có phân phối siêu bội của các tham số N, n và k. Hàm khối lượng xác suất của nó là:
Biểu đồ sau biểu thị khối lượng xác suất của hàm cho các giá trị khác nhau của các tham số của phân bố siêu bội.
Bài tập đã giải quyết
Bài tập đầu tiên
Giả sử rằng xác suất mà một ống radio (đặt trong một loại thiết bị nhất định) hoạt động trong hơn 500 giờ là 0,2. Nếu 20 ống được kiểm tra, xác suất chính xác k trong số này sẽ hoạt động hơn 500 giờ, k = 0, 1,2, ..., 20?
Giải pháp
Nếu X là số lượng ống hoạt động hơn 500 giờ, chúng ta sẽ giả sử rằng X có phân phối nhị thức. Sau đó
Và như vậy:
Đối với k≥11, xác suất nhỏ hơn 0,001
Vì vậy, chúng ta có thể thấy xác suất mà những k này hoạt động hơn 500 giờ tăng lên, cho đến khi đạt đến giá trị tối đa (với k = 4) và sau đó bắt đầu giảm.
Bài tập thứ hai
Một đồng xu được ném 6 lần. Khi kết quả là đắt tiền, chúng tôi sẽ nói rằng đó là một thành công. Xác suất hai mặt xuất hiện chính xác là bao nhiêu?
Giải pháp
Trong trường hợp này, chúng ta có n = 6 và cả xác suất thành công và thất bại là p = q = 1/2
Do đó, xác suất hai mặt được đưa ra (tức là k = 2) là
Bài tập thứ ba
Xác suất tìm thấy ít nhất bốn khuôn mặt là gì?
Giải pháp
Trong trường hợp này, chúng ta có k = 4, 5 hoặc 6
Bài tập thứ ba
Giả sử rằng 2% sản phẩm được sản xuất trong nhà máy bị lỗi. Tìm xác suất P có ba mục bị lỗi trong một mẫu gồm 100 mục.
Giải pháp
Trong trường hợp này, chúng tôi có thể áp dụng phân phối nhị thức cho n = 100 và p = 0,02, thu được kết quả:
Tuy nhiên, vì p nhỏ, nên chúng tôi sử dụng xấp xỉ Poisson với = np = 2. Vậy,
Tài liệu tham khảo
- Khai Lai Chung Lý thuyết khả năng cơ bản với các quy trình ngẫu nhiên. Công ty Springer-Verlag New York
- Kenneth.H. Rosen. Toán học rời rạc và các ứng dụng của nó. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Xác suất và ứng dụng thống kê. S.A. MEXICAN ALHAMBRA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 toán học rời rạc giải quyết các vấn đề. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Lý thuyết và vấn đề của xác suất. McGRAW-HILL.