Các trường hợp và ví dụ về phân số từng phần



các phân số một phần chúng là các phân số được hình thành bởi các đa thức, trong đó mẫu số có thể là đa thức tuyến tính hoặc bậc hai và, ngoài ra, có thể được nâng lên thành một số lũy thừa. Đôi khi, khi chúng ta có các hàm hữu tỷ, rất hữu ích để viết lại hàm này dưới dạng tổng của các phân số một phần hoặc các phân số đơn giản.

Điều này là như vậy bởi vì theo cách này chúng ta có thể thao tác các chức năng này theo cách tốt hơn, đặc biệt là trong những trường hợp cần thiết để tích hợp ứng dụng này. Hàm số hữu tỉ đơn giản là thương số giữa hai đa thức và có thể đúng hoặc không đúng.

Nếu mức độ đa thức của tử số nhỏ hơn mẫu số, nó được gọi là hàm hữu tỷ của chính nó; mặt khác, nó được gọi là một hàm hợp lý không phù hợp.

Chỉ số

  • 1 Định nghĩa
  • 2 trường hợp
    • 2.1 Trường hợp 1
    • 2.2 Trường hợp 2
    • 2.3 Trường hợp 3
    • 2.4 Trường hợp 4
  • 3 ứng dụng
    • 3.1 Tính toán toàn diện
    • 3.2 Luật hành động quần chúng
    • 3.3 Phương trình vi phân: phương trình logistic
  • 4 tài liệu tham khảo

Định nghĩa

Khi chúng ta có hàm hữu tỷ không phù hợp, chúng ta có thể chia đa thức của tử số giữa đa thức của mẫu số và do đó viết lại phân số p (x) / q (x), theo thuật toán của phép chia là t (x) + s (x) / q (x), trong đó t (x) là một đa thức và s (x) / q (x) là một hàm hữu tỷ của riêng nó.

Một phần là bất kỳ chức năng thích hợp nào của đa thức, có mẫu số là dạng (ax + b)n o (rìu2+ bx + c)n, nếu rìu đa thức2 + bx + c không có gốc thực và n là số tự nhiên.

Để viết lại hàm hữu tỷ theo phân số một phần, điều đầu tiên cần làm là lấy mẫu số q (x) là sản phẩm của các yếu tố tuyến tính và / hoặc bậc hai. Một khi điều này được thực hiện, các phân số một phần được xác định, phụ thuộc vào bản chất của các yếu tố đã nói.

Các trường hợp

Chúng tôi xem xét một số trường hợp riêng biệt.

Trường hợp 1

Các yếu tố của q (x) đều tuyến tính và không có yếu tố nào được lặp lại. Đó là:

q (x) = (a1x + b1) (một2x + b2) ... (mộtsx + bs)

Ở đó, không có yếu tố tuyến tính là giống hệt nhau. Khi trường hợp này xảy ra, chúng tôi sẽ viết:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Trường hợp A1,Một2,..., As là các hằng số mà bạn muốn tìm.

Ví dụ

Chúng tôi muốn phân tách hàm hợp lý thành các phân số đơn giản:

(x - 1) / (x3+3x2+2 lần)

Chúng tôi tiến hành nhân tố mẫu số, đó là:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Sau đó:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Áp dụng bội số chung nhỏ nhất, bạn có thể có được rằng:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Chúng tôi muốn có được các giá trị của hằng số A, B và C, có thể được tìm thấy bằng cách thay thế các gốc hủy từng điều khoản. Thay thế 0 cho x chúng ta có:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Thay thế - 1 cho x chúng ta có:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Thay thế - 2 cho x chúng ta có:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Theo cách này, các giá trị A = -1/2, B = 2 và C = -3/2 được lấy..

Có một phương pháp khác để thu được các giá trị của A, B và C. Nếu ở bên phải của phương trình x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x chúng tôi kết hợp các thuật ngữ, chúng tôi có:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3+ + 2B + C) x + 2A.

Vì đây là một đẳng thức của đa thức, chúng ta có các hệ số của bên trái phải bằng với các bên phải. Điều này dẫn đến hệ thống các phương trình sau:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Khi giải hệ phương trình này, ta thu được kết quả A = -1/2, B = 2 và C = -3/2.

Cuối cùng, thay thế các giá trị thu được chúng ta phải:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Trường hợp 2

Các yếu tố của q (x) đều tuyến tính và một số được lặp lại. Giả sử rằng (ax + b) là một yếu tố được lặp lại "s" lần; sau đó, với yếu tố này tương ứng với tổng các phân số một phần "s".

Mộts/ (ax + b)s + Mộts-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Trường hợp As,Mộts-1,..., A1 chúng là các hằng số được xác định. Với ví dụ sau, chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách xác định các hằng số này.

Ví dụ

Phân hủy thành các phần phân đoạn:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Chúng ta viết hàm hữu tỷ là tổng của các phân số một phần như sau:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Sau đó:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Thay thế 2 cho x, chúng ta phải:

7 = 4C, nghĩa là, C = 7/4.

Thay thế 0 cho x chúng ta có:

- 1 = -8A hoặc A = 1/8.

Thay thế các giá trị này trong phương trình trước và phát triển, chúng ta phải:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Vd2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Bằng các hệ số phù hợp, chúng ta có được hệ phương trình sau:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Giải hệ thống, chúng ta có:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Vì điều này, chúng tôi phải:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Trường hợp 3

Các yếu tố của q (x) là tuyến tính bậc hai, không có bất kỳ yếu tố bậc hai nào được lặp lại. Trong trường hợp này, hệ số bậc hai (ax2 + bx + c) tương ứng với phân số một phần (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), trong đó các hằng số A và B là những cái bạn muốn xác định.

Ví dụ sau đây cho thấy cách tiến hành trong trường hợp này

Ví dụ

Phân hủy thành các phân số đơn giản a (x + 1) / (x3 - 1).

Đầu tiên, chúng tôi tiến hành tính hệ số mẫu số, kết quả mang lại cho chúng tôi:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Chúng ta có thể thấy rằng (x2 + x + 1) là một đa thức bậc hai không thể suy giảm; đó là, nó không có nguồn gốc thực sự. Sự phân hủy của nó thành các phần phân đoạn sẽ như sau:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Từ đó ta có được phương trình sau:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Sử dụng đẳng thức của đa thức, chúng ta có được hệ thống sau:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Từ hệ thống này ta có A = 2/3, B = - 2/3 và C = 1/3. Thay thế, chúng tôi phải:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Trường hợp 4

Cuối cùng, trường hợp 4 là một trong đó các yếu tố của q (x) là tuyến tính và bậc hai, trong đó một số yếu tố bậc hai tuyến tính được lặp lại.

Trong trường hợp này, có (rìu2 + bx + c) là một yếu tố bậc hai được lặp lại "s" lần, sau đó là một phần tương ứng với yếu tố (ax)2 + bx + c) sẽ là:

(Một1x + B) / (rìu2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (rìu)2 + bx + c)s-1 + (Mộtsx + Bs) / (rìu)2 + bx + c)s

Trường hợp As, Mộts-1,..., A và Bs, Bs-1,..., B là các hằng số mà bạn muốn xác định.

Ví dụ

Chúng tôi muốn chia hàm hợp lý sau thành các phần một phần:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Thích x2 - 4x + 5 là một yếu tố bậc hai không thể giảm được, chúng ta có sự phân rã của nó thành các phân số một phần được đưa ra bởi:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Đơn giản hóa và phát triển, chúng tôi có:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8 - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Từ những điều trên chúng ta có hệ phương trình sau:

A + B = 0;

- 8 - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Khi giải hệ thống, chúng ta phải:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 và E = - 3/5.

Khi thay thế các giá trị thu được, chúng ta có:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Ứng dụng

Tính toán toàn diện

Các phân số một phần được sử dụng chủ yếu cho nghiên cứu tính tích phân. Dưới đây chúng ta sẽ thấy một số ví dụ về cách tạo tích phân bằng phân số một phần.

Ví dụ 1

Chúng tôi muốn tính tích phân của:

Chúng ta có thể thấy rằng mẫu số q (x) = (t + 2)2(t + 1) được tạo thành từ các yếu tố tuyến tính trong đó một trong những yếu tố lặp lại; cho điều này, chúng tôi đang ở trong trường hợp 2.

Chúng tôi phải:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Chúng tôi viết lại phương trình và chúng tôi có:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Nếu t = - 1, chúng ta phải:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Nếu t = - 2, nó cho chúng ta:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Sau đó, nếu t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Thay thế các giá trị của A và C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Từ những điều trên ta có B = - 1.

Chúng tôi viết lại tích phân là:

Chúng tôi tiến hành giải quyết nó bằng phương pháp thay thế:

Điều này dẫn đến:

Ví dụ 2

Giải các tích phân sau:

Trong trường hợp này, chúng ta có thể tính hệ số q (x) = x2 - 4 là q (x) = (x - 2) (x + 2). Rõ ràng chúng ta đang ở trường hợp 1. Do đó:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Nó cũng có thể được thể hiện như sau:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Nếu x = - 2, chúng ta có:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Và nếu x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Do đó, chúng ta phải giải tích phân đã cho tương đương với giải:

Điều này mang lại cho chúng tôi như là một kết quả:

Ví dụ 3

Giải các tích phân:

Ta có q (x) = 9x4 + x2 , mà chúng ta có thể tính đến q (x) = x2(9x2 + 1).

Nhân dịp này, chúng tôi có một yếu tố tuyến tính lặp đi lặp lại và một yếu tố bậc hai; đó là, chúng tôi đang ở trong trường hợp 3.

Chúng tôi phải:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Phân nhóm và sử dụng đẳng thức của đa thức, chúng ta có:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Từ hệ thống phương trình này, chúng ta phải:

D = - 9 và C = 0

Theo cách này, chúng ta có:

Bằng cách giải quyết những điều trên, chúng ta có:

Luật hành động quần chúng

Một ứng dụng thú vị của các phân số từng phần được áp dụng cho phép tính tích phân được tìm thấy trong hóa học, chính xác hơn là trong định luật hành động khối.

Chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta có hai chất A và B kết hợp với nhau và tạo thành một chất C, do đó đạo hàm của lượng C tương ứng với thời gian tỷ lệ thuận với sản phẩm của lượng A và B tại bất kỳ thời điểm nào.

Chúng ta có thể diễn tả quy luật của hành động quần chúng như sau:

Trong biểu thức này, α là lượng gram ban đầu tương ứng với A và lượng gram ban đầu tương ứng với B.

Ngoài ra, r và s tương ứng với số gam của A và B kết hợp với nhau tạo thành r + s gam của C. Về phần mình, x đại diện cho số gam của chất C tại thời điểm t và K là hằng số tỷ lệ. Phương trình trên có thể được viết lại thành:

Thực hiện thay đổi sau:

Chúng ta có phương trình trở thành:

Từ biểu thức này, chúng ta có thể có được:

Khi có a ≠ b, phân số một phần có thể được sử dụng để tích hợp.

Ví dụ

Lấy ví dụ một chất C phát sinh từ việc kết hợp một chất A với B, theo cách mà luật của khối lượng được đáp ứng trong đó các giá trị của a và b lần lượt là 8 và 6. Cho một phương trình cho ta giá trị gam của C là hàm của thời gian.

Thay thế các giá trị trong luật đại chúng nhất định, chúng ta có:

Khi tách các biến chúng ta có:

Ở đây 1 / (8 - x) (6 - x) có thể được viết dưới dạng tổng của các phân số một phần, như sau:

Do đó, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Nếu chúng ta thay x cho 6, chúng ta có B = 1/2; và thay thế x cho 8, chúng ta có A = - 1/2.

Tích hợp bởi các phân số một phần chúng ta có:

Điều này mang lại cho chúng tôi như là một kết quả:

Phương trình vi phân: phương trình logistic

Một ứng dụng khác có thể được trao cho các phân số một phần là trong phương trình vi phân logistic. Trong các mô hình đơn giản, chúng ta có tốc độ tăng trưởng của dân số tỷ lệ thuận với kích thước của nó; đó là:

Trường hợp này là một lý tưởng và được coi là thực tế cho đến khi nó xảy ra rằng các tài nguyên có sẵn trong một hệ thống không đủ để duy trì dân số.

Trong những tình huống này, hợp lý hơn khi nghĩ rằng có một công suất tối đa, mà chúng ta sẽ gọi là L, hệ thống có thể duy trì và tốc độ tăng trưởng tỷ lệ thuận với kích thước của dân số nhân với kích thước có sẵn. Đối số này dẫn đến phương trình vi phân sau:

Biểu thức này được gọi là phương trình vi phân logistic. Đó là một phương trình vi phân riêng biệt có thể được giải bằng phương pháp tích phân bằng các phân số từng phần.

Ví dụ

Một ví dụ sẽ là xem xét một dân số tăng theo phương trình vi phân logistic sau y '= 0,0004y (1000 - y), có dữ liệu ban đầu là 400. Chúng tôi muốn biết kích thước của dân số tại thời điểm t = 2, trong đó t được đo trong năm.

Nếu chúng ta viết a và 'với ký hiệu Leibniz là một hàm phụ thuộc vào t, chúng ta phải:

Tích phân của bên trái có thể được giải quyết bằng phương pháp tích hợp theo phân số một phần:

Bình đẳng cuối cùng này có thể được viết lại như sau:

- Thay thế y = 0 ta có A bằng 1/1000.

- Thay thế y = 1000 ta có B bằng 1/1000.

Với các giá trị này, tích phân được để lại như sau:

Giải pháp là:

Sử dụng dữ liệu ban đầu:

Khi xóa và chúng tôi đã rời đi:

Sau đó, chúng ta có điều đó tại t = 2:

Tóm lại, sau 2 năm, quy mô dân số xấp xỉ 597,37.

Tài liệu tham khảo

  1. A, R. A. (2012). Toán 1. Đại học Andes. Hội đồng xuất bản.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 giải quyết tích phân. Đại học thí nghiệm quốc gia của Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). TÍNH TOÁN với Hình học Phân tích. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Tính toán. Mexico: Giáo dục Pearson.
  5. Saenz, J. (s.f.). Tính toán toàn diện. Hypotenuse.