Sản phẩm chéo tính chất, ứng dụng và bài tập đã giải



các Vectơ sản phẩm hoặc sản phẩm chéo Đó là một cách để nhân hai hoặc nhiều vectơ. Có ba cách để nhân vectơ, nhưng không có cách nào trong số này là phép nhân theo nghĩa thông thường của từ này. Một trong những hình thức này được gọi là sản phẩm vectơ, kết quả là vectơ thứ ba.

Sản phẩm vector, còn được gọi là sản phẩm chéo hoặc sản phẩm bên ngoài, có các tính chất đại số và hình học khác nhau. Những tính chất này rất hữu ích, đặc biệt là trong nghiên cứu vật lý.

Chỉ số

  • 1 Định nghĩa
  • 2 thuộc tính
    • 2.1 Tài sản 1
    • 2.2 Tài sản 2
    • 2.3 Tài sản 3
    • 2.4 Thuộc tính 4 (sản phẩm ba vô hướng)
    • 2.5 Tài sản 5 (sản phẩm ba vectơ)
    • 2.6 Tài sản 6
    • 2.7 Tài sản 7
    • 2,8 tài sản 8
  • 3 ứng dụng
    • 3.1 Tính toán khối lượng của một đường song song
  • 4 bài tập đã giải
    • 4.1 Bài tập 1
    • 4.2 Bài tập 2
  • 5 tài liệu tham khảo

Định nghĩa

Một định nghĩa chính thức của sản phẩm vectơ là như sau: nếu A = (a1, a2, a3) và B = (b1, b2, b3) là các vectơ, thì sản phẩm vectơ của A và B, mà chúng ta sẽ ký hiệu là AxB, là:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Do ký hiệu AxB, nó đọc là "A chéo B".

Một ví dụ về cách sử dụng sản phẩm bên ngoài là nếu A = (1, 2, 3) và B = (3, -2, 4) là các vectơ, thì sử dụng định nghĩa của sản phẩm vectơ chúng ta có:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Một cách khác để thể hiện sản phẩm vectơ được đưa ra bằng ký hiệu xác định.

Việc tính toán một định thức bậc hai được đưa ra bởi:

Do đó, công thức của sản phẩm vector được đưa ra trong định nghĩa có thể được viết lại như sau:

Điều này thường được đơn giản hóa trong một định thức thứ ba như sau:

Trong đó i, j, k đại diện cho các vectơ tạo thành cơ sở của R3.

Sử dụng cách thể hiện sản phẩm chéo này, chúng ta có ví dụ trước có thể được viết lại thành:

Thuộc tính

Một số tính chất mà sản phẩm vector sở hữu là như sau:

Tài sản 1

Nếu A là vectơ bất kỳ trong R3, Chúng tôi phải:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Các thuộc tính này rất dễ kiểm tra chỉ sử dụng định nghĩa. Nếu A = (a1, a2, a3) chúng ta phải:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Nếu i, j, k đại diện cho cơ sở đơn vị của R3, Chúng ta có thể viết chúng như sau:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Sau đó, chúng ta phải thực hiện các thuộc tính sau:

Như một quy tắc ghi nhớ, để ghi nhớ các thuộc tính này, vòng tròn sau thường được sử dụng:

Ở đó chúng ta nên lưu ý rằng bất kỳ vectơ nào có kết quả là vectơ 0 và phần còn lại của sản phẩm có thể được lấy theo quy tắc sau:

Tích chéo của hai vectơ liên tiếp theo chiều kim đồng hồ cho vectơ sau; và khi xem xét hướng ngược chiều kim đồng hồ, kết quả là vectơ sau có dấu âm.

Nhờ những đặc tính này mà chúng ta có thể thấy rằng sản phẩm vector không giao hoán; ví dụ, nó đủ để nhận thấy rằng i x j j x i. Các thuộc tính sau cho chúng ta biết AxB và BxA nói chung.

Tài sản 2

Nếu A và B là vectơ R3, Chúng tôi phải:

AxB = - (BxA).

Trình diễn

Nếu A = (a1, a2, a3) và B = (b1, b2, b3), theo định nghĩa của sản phẩm bên ngoài, chúng ta có:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Chúng tôi cũng có thể quan sát rằng sản phẩm này không liên quan đến ví dụ sau:

ix (ixj) = ixk = - j nhưng (ixi) xj = 0xj = 0

Từ đó chúng ta có thể quan sát rằng:

ix (ixj) (ixi) xj

Tài sản 3

Nếu A, B, C là các vectơ R3 và r là một số thực, sau đây là đúng:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Nhờ các tính chất này, chúng ta có thể tính toán sản phẩm vectơ bằng cách sử dụng định luật đại số, với điều kiện là thứ tự được tôn trọng. Ví dụ:

Nếu A = (1, 2, 3) và B = (3, -2, 4), chúng ta có thể viết lại chúng dựa trên cơ sở chính tắc của R3.

Do đó, A = i + 2j + 3k và B = 3i - 2j + 4k. Sau đó, áp dụng các thuộc tính trước:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Tài sản 4 (sản phẩm ba vô hướng)

Như chúng ta đã đề cập ở đầu, có nhiều cách khác để nhân vectơ bên cạnh sản phẩm vectơ. Một trong những cách này là sản phẩm vô hướng hoặc sản phẩm nội bộ, được ký hiệu là A B và có định nghĩa là:

Nếu A = (a1, a2, a3) và B = (b1, b2, b3), thì A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Thuộc tính liên quan đến cả hai sản phẩm được gọi là sản phẩm ba vô hướng.

Nếu A, B và C là vectơ R3, thì A BxC = AxB C

Ví dụ, chúng ta hãy xem rằng, với A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) và C = (- 5, 1, - 4), thuộc tính này được đáp ứng.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Mặt khác:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Một sản phẩm ba khác là Axe (BxC), được gọi là sản phẩm ba vectơ.

Tài sản 5 (sản phẩm ba vectơ)

Nếu A, B và C là vectơ R3,  sau đó:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Ví dụ, chúng ta hãy xem rằng, với A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) và C = (- 5, 1, - 4), thuộc tính này được đáp ứng.

Từ ví dụ trước chúng ta biết rằng BxC = (- 18, - 22, 17). Hãy tính Axe (BxC):

Rìu (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Mặt khác, chúng ta phải:

A ∙ C = (1, 1, - 2) (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Vì vậy, chúng tôi phải:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Tài sản 6

Đây là một trong những tính chất hình học của vectơ. Nếu A và B là hai vectơ trong R3 và Θ là góc được tạo thành giữa chúng, sau đó:

| | AxB | | = | | A |||| B | | sin (Θ), trong đó | | | | biểu thị mô-đun hoặc độ lớn của vectơ.

Giải thích hình học của tài sản này là như sau:

Đặt A = PR và B = PQ. Khi đó, góc tạo bởi vectơ A và B là góc P của tam giác RQP, như trong hình dưới đây.

Do đó, diện tích của hình bình hành với các cạnh PR và PQ liền kề là | | A |||| B | | sin (Θ), vì chúng ta có thể lấy làm cơ sở | | A | | và chiều cao của nó được cho bởi | | B | | sin (Θ).

Vì điều này, chúng ta có thể kết luận rằng | | AxB | | là diện tích của hình bình hành nói.

Ví dụ

Cho các đỉnh sau của một tứ giác P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2.1) và S (5,7, -3), cho thấy rằng tứ giác đã nói là hình bình hành và tìm diện tích của nó.

Đối với điều này trước tiên chúng ta xác định các vectơ xác định hướng của các cạnh của tứ giác. Đây là:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Như chúng ta có thể quan sát A và C có cùng một đạo diễn vectơ, mà chúng ta có cả hai đều song song; theo cách tương tự xảy ra với B và D. Do đó, chúng tôi kết luận rằng PQRS là hình bình hành.

Để có diện tích hình bình hành đã nói, chúng tôi tính BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Do đó, diện tích bình phương sẽ là:

| | BxA | |2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Có thể kết luận rằng diện tích hình bình hành sẽ là căn bậc hai của 89.

Tài sản 7

Hai vectơ A và B song song trong R3 có và chỉ khi AxB = 0

Trình diễn

Rõ ràng rằng nếu A hoặc B là vectơ null, thì AxB = 0. Vì vectơ 0 song song với bất kỳ vectơ nào khác, nên thuộc tính là hợp lệ.

Nếu không có một trong hai vectơ là vectơ không, chúng ta có độ lớn của chúng khác 0; đó là cả hai | | A | | ≠ 0 là | | B | | ≠ 0, vì vậy chúng ta sẽ phải | | AxB | | = 0 khi và chỉ khi sin (Θ) = 0, và điều này xảy ra khi và chỉ khi Θ = π hoặc = 0.

Do đó, chúng ta có thể kết luận AxB = 0 khi và chỉ khi = π hoặc = 0, điều này chỉ xảy ra khi cả hai vectơ song song với nhau.

Tài sản 8

Nếu A và B là hai vectơ trong R3, thì AxB vuông góc với cả A và B.

Trình diễn

Trong phần trình diễn này, hãy nhớ rằng hai vectơ vuông góc nếu A ∙ B bằng 0. Ngoài ra, chúng tôi biết rằng:

A AxB = AxA B, nhưng AxA bằng 0. Do đó, chúng ta phải:

A ∙ AxB = 0 B = 0.

Bằng cách này, chúng ta có thể kết luận rằng A và AxB vuông góc với nhau. Theo cách tương tự, chúng ta phải:

AxB ∙ B = A BxB.

Vì BxB = 0, chúng ta phải:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Do đó, AxB và B vuông góc với nhau và với tính chất này được thể hiện. Điều này rất hữu ích, vì chúng cho phép chúng ta xác định phương trình của một mặt phẳng.

Ví dụ 1

Lấy phương trình của mặt phẳng đi qua các điểm P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) và R (2, 1, 3).

Đặt A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) và B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Khi đó A = - i + 3j + k và B = i - 2j + k. Để tìm mặt phẳng được tạo bởi ba điểm đó, đủ để tìm một vectơ bình thường đối với mặt phẳng, đó là AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Với vectơ này và lấy điểm P (1, 3, 2), chúng ta có thể xác định phương trình của mặt phẳng như sau:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Vậy, ta có phương trình của mặt phẳng là 5x + 2y - z - 9 = 0.

Ví dụ 2

Tìm phương trình của mặt phẳng chứa điểm P (4, 0, - 2) và vuông góc với mỗi mặt phẳng x - y + z = 0 và 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Biết rằng một vectơ bình thường cho một mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 là (a, b, c), chúng ta có (1, -1,1) là một vectơ bình thường của x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) là một vectơ bình thường của 2x + y - 4z - 5 = 0.

Do đó, một vectơ bình thường cho mặt phẳng mong muốn phải vuông góc với (1, -1,1) và a (2, 1, - 4). Vectơ cho biết là:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Sau đó, chúng ta có mặt phẳng tìm kiếm là điểm chứa P (4,0, - 2) và có vectơ (3,6,3) như một vectơ bình thường.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Ứng dụng

Tính toán thể tích của một đường song song

Một ứng dụng có sản phẩm ba vô hướng là có thể tính được thể tích của một đường song song có các cạnh được cho bởi các vectơ A, B và C, như trong hình:

Chúng ta có thể suy ra ứng dụng này theo cách sau: như chúng ta đã nói trước đây, vectơ AxB là một vectơ bình thường đối với mặt phẳng của A và B. Chúng ta cũng có vectơ - (AxB) là một vectơ bình thường khác đối với mặt phẳng đã nói.

Chúng ta chọn vectơ bình thường tạo thành góc nhỏ nhất với vectơ C; không mất tính tổng quát, hãy để AxB là vectơ có góc với C là nhỏ nhất.

Chúng ta có cả AxB và C có cùng điểm bắt đầu. Ngoài ra, chúng ta biết rằng diện tích của hình bình hành tạo thành đáy của hình bình hành là | | AxB | |. Do đó, nếu chiều cao của đường song song được cho bởi h, chúng ta có thể tích của nó sẽ là:

V = | | AxB | | h.

Mặt khác, hãy xem xét sản phẩm vô hướng giữa AxB và C, có thể được mô tả như sau:

Tuy nhiên, bằng các thuộc tính lượng giác, chúng ta có h = | | C | | cos (Θ), vì vậy chúng ta phải:

Theo cách này, chúng ta phải:

Nói chung, chúng ta có thể tích của một đường song song được tính bằng giá trị tuyệt đối của sản phẩm ba vô hướng AxB C.

Bài tập đã giải quyết

Bài tập 1

Cho các điểm P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) và S = (2, 6, 9), các điểm này tạo thành một đường song song có các cạnh họ là PQ, PR và PS. Xác định khối lượng song song đã nói.

Giải pháp

Nếu chúng ta lấy:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Sử dụng thuộc tính của sản phẩm ba vô hướng, chúng ta phải:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Do đó, chúng ta có khối lượng song song nói là 52.

Bài tập 2

Xác định thể tích của một đường song song có các cạnh được cho bởi A = PQ, B = PR và C = PS, trong đó các điểm P, Q, R và S là (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) và (2, 2, 5), tương ứng.

Giải pháp

Đầu tiên chúng ta có A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Chúng tôi tính AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Sau đó, chúng tôi tính toán AxB C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Do đó, chúng tôi kết luận rằng khối lượng song song nói là 1 đơn vị khối.

Tài liệu tham khảo

  1. Leithold, L. (1992). TÍNH TOÁN với Hình học Phân tích. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Vật lý tập 1. Mexico: lục địa.
  3. Saenz, J. (s.f.). Tính toán véc tơ 1ed. Hypotenuse.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Phân tích véc tơ 2ed. Đồi Mc Graw.
  5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Tính toán các biến khác nhau 4ed. Đồi Mc Graw.