Định lý Thales of Miletus Đầu tiên, Thứ hai và Ví dụ



Thứ nhất và thứ hai Định lý của Thales of Miletus chúng dựa trên việc xác định các tam giác từ các tương tự khác (định lý thứ nhất) hoặc các đường tròn (định lý thứ hai). Họ đã rất hữu ích trong các lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, định lý đầu tiên tỏ ra rất hữu ích để đo các cấu trúc lớn khi không có dụng cụ đo phức tạp.

Thales of Miletus là một nhà toán học Hy Lạp, người đã đóng góp rất nhiều cho hình học, trong đó hai định lý này nổi bật (trong một số văn bản họ cũng viết nó là Thales) và các ứng dụng hữu ích của chúng. Những kết quả này đã được sử dụng trong suốt lịch sử và đã cho phép giải quyết rất nhiều vấn đề hình học.

Chỉ số

  • 1 Định lý đầu tiên của những câu chuyện
    • 1.1 Ứng dụng
    • 1.2 Ví dụ
  • 2 Định lý thứ hai của Truyện
    • Ứng dụng 2.1
    • 2.2 Ví dụ
  • 3 tài liệu tham khảo

Định lý đầu tiên của Truyện

Định lý đầu tiên của Tales là một công cụ rất hữu ích, trong số những thứ khác, cho phép xây dựng một hình tam giác tương tự như cái khác, được biết đến trước đây. Từ đây rút ra các phiên bản khác nhau của định lý có thể được áp dụng trong nhiều ngữ cảnh.

Trước khi đưa ra tuyên bố của bạn, hãy nhớ một số khái niệm về sự tương tự của hình tam giác. Về cơ bản, hai hình tam giác tương tự nhau nếu các góc của chúng đồng dạng (chúng có cùng số đo). Điều này dẫn đến một thực tế rằng, nếu hai hình tam giác tương tự nhau, các cạnh tương ứng (hoặc tương đồng) của chúng tỷ lệ thuận với nhau.

Định lý đầu tiên của Thales nói rằng nếu trong một tam giác đã cho, một đường thẳng được vẽ song song với bất kỳ cạnh nào của nó, tam giác mới thu được sẽ tương tự như tam giác ban đầu.

Bạn cũng có được mối quan hệ giữa các góc được hình thành, như trong hình dưới đây.

Ứng dụng

Trong số nhiều ứng dụng của nó nổi bật là một trong những mối quan tâm đặc biệt và phải thực hiện với một trong những cách thức đo lường được tạo ra từ các cấu trúc lớn thời cổ đại, thời gian mà Thales sống và trong đó các thiết bị đo hiện đại không có sẵn. bây giờ họ tồn tại.

Người ta nói rằng đây là cách Thales quản lý để đo kim tự tháp cao nhất ở Ai Cập, Cheops. Đối với điều này, Thales cho rằng sự phản xạ của các tia mặt trời chạm mặt đất tạo thành các đường thẳng song song. Theo giả định này, anh ta cắm một cây gậy hoặc gậy thẳng đứng xuống đất.

Sau đó, ông đã sử dụng sự giống nhau của hai hình tam giác thu được, một hình được tạo bởi chiều dài của bóng của kim tự tháp (có thể dễ dàng tính toán) và chiều cao của hình chóp (không xác định) và hình kia được tạo bởi chiều dài của bóng và chiều cao của thanh (cũng có thể dễ dàng tính toán).

Sử dụng tỷ lệ giữa các chiều dài này, bạn có thể xóa và biết chiều cao của kim tự tháp.

Mặc dù phương pháp đo này có thể gây ra sai số gần đúng đáng kể về độ chính xác của độ cao và phụ thuộc vào độ song song của tia mặt trời (điều này phụ thuộc vào thời gian chính xác), chúng ta phải nhận ra rằng đó là một ý tưởng rất tài tình và điều đó cung cấp một sự thay thế đo lường tốt cho thời gian.

Ví dụ

Tìm giá trị của x trong mỗi trường hợp:

Giải pháp

Ở đây chúng ta có hai đường cắt bởi hai đường thẳng song song. Theo Định lý đầu tiên của Thales, người ta có các mặt tương ứng của chúng là tỷ lệ thuận. Đặc biệt:

Giải pháp

Ở đây chúng ta có hai hình tam giác, một trong số đó được hình thành bởi một đoạn song song với một trong các cạnh của bên kia (chính xác là cạnh có chiều dài x). Theo định lý đầu tiên của Tales, bạn phải:

Định lý thứ hai của truyện

Định lý thứ hai của Thales xác định một tam giác vuông được ghi theo chu vi ở mỗi điểm giống nhau.

Một tam giác được ghi vào một chu vi là một tam giác có các đỉnh nằm trên chu vi, do đó được chứa trong này.

Cụ thể, định lý thứ hai của Thales nêu rõ như sau: cho một đường tròn tâm O và đường kính AC, mỗi điểm B của chu vi (trừ A và C) xác định tam giác ABC vuông, có góc vuông

Bằng cách biện minh, lưu ý rằng cả OA và OB và OC tương ứng với bán kính của chu vi; do đó, các phép đo của họ là như nhau. Từ đó thu được các tam giác OAB và OCB là các cân bằng, trong đó

Được biết, tổng các góc của một tam giác bằng 180º. Sử dụng điều này với tam giác ABC, bạn phải:

2b + 2a = 180º.

Tương đương, chúng ta có b + a = 90º và b + a =

Lưu ý rằng tam giác vuông được cung cấp bởi định lý thứ hai của Thales chính xác là cạnh huyền của nó có đường kính bằng chu vi. Do đó, nó hoàn toàn được xác định bởi hình bán nguyệt có chứa các điểm của tam giác; trong trường hợp này, hình bán nguyệt trên.

Cũng lưu ý rằng trong tam giác vuông thu được bằng định lý thứ hai của Thales, cạnh huyền được chia thành hai phần bằng nhau bởi OA và OC (bán kính). Đổi lại, số đo này bằng với phân đoạn OB (cũng là bán kính), tương ứng với trung tuyến của tam giác ABC theo B.

Nói cách khác, độ dài trung tuyến của tam giác vuông ABC tương ứng với đỉnh B được xác định hoàn toàn bằng một nửa cạnh huyền. Hãy nhớ rằng trung tuyến của một tam giác là đoạn từ một trong các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện; trong trường hợp này, phân khúc BO.

Chu vi chu vi

Một cách khác để xem định lý thứ hai của Thales là thông qua một vòng tròn được đặt vào một tam giác vuông.

Nói chung, một vòng tròn được bao quanh bởi một đa giác bao gồm chu vi đi qua mỗi đỉnh của nó, bất cứ khi nào có thể theo dõi nó.

Sử dụng định lý thứ hai của Thales, cho một tam giác vuông, chúng ta luôn có thể xây dựng một đường tròn ngoại tiếp với chu vi này, với bán kính bằng một nửa cạnh huyền và chu vi (tâm của chu vi) bằng trung điểm của cạnh huyền.

Ứng dụng

Một ứng dụng rất quan trọng của định lý thứ hai của Tales, và có lẽ được sử dụng nhiều nhất, là tìm các đường tiếp tuyến cho một chu vi nhất định, bởi một điểm P bên ngoài này (đã biết).

Quan sát rằng đã cho chu vi (được vẽ màu xanh lam trong hình bên dưới) và điểm P bên ngoài, có hai đường tiếp tuyến với chu vi đi qua P. Gọi T và T 'là các điểm tiếp tuyến, r bán kính của chu vi và Hoặc trung tâm.

Được biết, đoạn đi từ tâm vòng tròn đến điểm tiếp tuyến của nó, vuông góc với đường tiếp tuyến này. Sau đó, góc OTP là thẳng.

Từ những gì chúng ta đã thấy trước đó trong định lý đầu tiên của Thales và các phiên bản khác nhau của nó, chúng ta thấy rằng có thể ghi tam giác OTP theo chu vi khác (màu đỏ).

Tương tự, có thể ghi được rằng tam giác OT'P có thể được ghi trong cùng chu vi trước đó.

Theo định lý thứ hai của Thales, chúng ta cũng nhận được rằng đường kính của chu vi mới này chính xác là cạnh huyền của tam giác OTP (bằng với cạnh huyền của tam giác OT'P), và tâm là trung điểm của cạnh huyền này.

Để tính tâm của chu vi mới, khi đó, đủ để tính trung điểm giữa tâm - nói M - của chu vi ban đầu (mà chúng ta đã biết) và điểm P (mà chúng ta cũng biết). Khi đó, bán kính sẽ là khoảng cách giữa điểm M và P này.

Với bán kính và tâm của vòng tròn màu đỏ, chúng ta có thể tìm thấy phương trình Descartes của nó, mà chúng ta nhớ được đưa ra bởi (x-h)2 + (y-k)2 = c2, Trong đó c là bán kính và điểm (h, k) là tâm của đường tròn.

Bây giờ biết các phương trình của cả hai đường tròn, chúng ta có thể cắt chúng bằng cách giải hệ phương trình được hình thành bởi các phương trình này, và do đó thu được các điểm tiếp tuyến T và T '. Cuối cùng, để biết các đường tiếp tuyến mong muốn, đủ để tìm phương trình của các đường thẳng đi qua T và P, và bởi T 'và P.

Ví dụ

Xét chu vi đường kính AC, tâm O và bán kính 1 cm. Gọi B là một điểm trên chu vi sao cho AB = AC. AB đo bao nhiêu?

Giải pháp

Theo định lý thứ hai của Thales, chúng ta có tam giác ABC là một hình chữ nhật và cạnh huyền tương ứng với đường kính, trong trường hợp này là 2 cm (bán kính là 1 cm). Sau đó, theo định lý Pythagore, chúng ta phải:

Tài liệu tham khảo

  1. Ana Lira, P. J. (2006). Hình học và lượng giác. Zapopan, Jalisco: Phiên bản ngưỡng.
  2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Đại số và lượng giác với hình học phân tích. Giáo dục Pearson.
  3. Gutiérrez, Á. Á. (2004). Phương pháp và ứng dụng toán học trong E.S.O. Bộ giáo dục.
  4. BỎ QUA. (2014). Toán học học kỳ hai Zaculeu. Guatemala: IGER.
  5. Jose Jiménez, L. J. (2006). Toán 2. Zapopan, Jalisco: Phiên bản ngưỡng.
  6. M., S. (1997). Lượng giác và hình học phân tích. Giáo dục Pearson.
  7. Pérez, M. A. (2009). Lịch sử toán học: Những thách thức và chinh phục thông qua các nhân vật của họ. Biên tập sách tầm nhìn.
  8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Hình học phân tích phẳng. Biên tập viên Venezuela C. A.