Định lý của Moivre về những gì bao gồm, trình diễn và giải bài tập

các Định lý Moivre áp dụng các quy trình cơ bản của đại số, chẳng hạn như quyền hạn và trích xuất rễ với số lượng phức tạp. Định lý được nhà toán học nổi tiếng người Pháp là Abraham de Moivre (1730), người đã liên kết các số phức với lượng giác.

Abraham Moivre đã thực hiện hiệp hội này thông qua các biểu hiện của vú và cosin. Nhà toán học này đã tạo ra một loại công thức thông qua đó có thể nâng một số phức z lên lũy thừa n, đó là một số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 1.

Chỉ số

1 Định lý Moivre là gì??
2 Trình diễn
- 2.1 Cơ sở quy nạp
- 2.2 Giả thuyết quy nạp
- 2.3 Kiểm tra
- 2.4 Số nguyên âm
3 bài tập đã giải
- 3.1 Tính toán sức mạnh tích cực
- 3.2 Tính toán công suất âm
4 tài liệu tham khảo

Định lý Moivre là gì??

Định lý Moivre nêu sau:

Nếu bạn có số phức ở dạng cực z = r_ɵ, Trong đó r là mô đun của số phức z và góc được gọi là biên độ hoặc đối số của bất kỳ số phức nào có 0 ≤ Ɵ 2π, để tính công suất thứ n của nó, sẽ không cần thiết phải nhân nó với n lần; nghĩa là không cần thiết phải tạo ra sản phẩm sau:

Zⁿ = z_* z _* z_{* ... *}z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *}r_ɵ lần n.

Ngược lại, định lý nói rằng khi viết z dưới dạng lượng giác của nó, để tính công suất thứ n, chúng ta tiến hành như sau:

Nếu z = r (cos + i _*tội Ɵ) rồi zⁿ = rⁿ(cos n * Ɵ + i _*tội lỗi n *).

Ví dụ: nếu n = 2, thì z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i tội 2 (Ɵ)]. Nếu bạn có n = 3, thì z³ = z²_* z. Ngoài ra:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i tội 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i tội 3 (Ɵ)].

Theo cách này, các tỷ lệ lượng giác của sin và cos có thể thu được cho bội số của một góc, miễn là tỷ lệ lượng giác của góc được biết..

Theo cách tương tự, nó có thể được sử dụng để tìm các biểu thức chính xác hơn và ít gây nhầm lẫn hơn cho gốc thứ n của số phức z, sao cho zⁿ = 1.

Để chứng minh định lý Moivre, nguyên tắc cảm ứng toán học được sử dụng: nếu một số nguyên "a" có thuộc tính "P" và nếu với bất kỳ số nguyên nào "n" lớn hơn "a" có thuộc tính "P" thì đó là thỏa mãn rằng n + 1 cũng có thuộc tính "P", sau đó tất cả các số nguyên lớn hơn hoặc bằng "a" có thuộc tính "P".

Trình diễn

Theo cách này, việc chứng minh định lý được thực hiện với các bước sau:

Cơ sở quy nạp

Kiểm tra đầu tiên cho n = 1.

Thích z¹ = (r (cos Ɵ + i _*sen))¹ = r¹ (cos + + i _*sen)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + tôi _*sen (1_* )], Chúng ta có điều đó với n = 1 định lý được hoàn thành.

Giả thuyết quy nạp

Giả định rằng công thức này đúng với một số nguyên dương, nghĩa là, n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _*sen))^k = r^k(cos k Ɵ + i _*sen k).

Kiểm tra

Nó được chứng minh là đúng với n = k + 1.

Thích z^{k + 1}= z^k_*z, rồi z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _*sen))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _*sen kƟ) _*r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Sau đó, các biểu thức nhân lên:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(tôi_*senƟ) + (tôi _*sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _*sen kƟ)_*(tôi_*senƟ)).

Trong một khoảnh khắc, yếu tố r bị bỏ qua^{k + 1}, và yếu tố chung i được loại bỏ:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Tôi thế nào² = -1, chúng tôi thay thế nó trong biểu thức và chúng tôi nhận được:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Bây giờ phần thực và phần ảo được sắp xếp:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Để đơn giản hóa biểu thức, các định danh lượng giác của tổng các góc cho cosin và sin được áp dụng, đó là:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Trong trường hợp này, các biến là các góc Ɵ và kƟ. Áp dụng các định danh lượng giác, chúng ta có:

cos kƟ _*cos - sen kƟ _*senƟ = cos (kƟ +))

sen kƟ _*cosƟ + cos kƟ _*senƟ = sen (kƟ +)

Theo cách này, biểu thức vẫn còn:

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos (kƟ +) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1)] + i _* sen [(k +1)]).

Do đó, có thể chỉ ra rằng kết quả là đúng với n = k + 1. Theo nguyên tắc cảm ứng toán học, kết luận là kết quả đúng với tất cả các số nguyên dương; đó là, n 1.

Số nguyên âm

Định lý Moivre cũng được áp dụng khi n ≤ 0. Xét một số nguyên âm "n"; thì "n" có thể được viết là "-m", nghĩa là n = -m, trong đó "m" là một số nguyên dương. Do đó:

(cos + + i _*sen)ⁿ= (cos Ɵ + i _*sen)^-m

Để có được số mũ "m" theo cách tích cực, biểu thức được viết ngược lại:

(cos + + i _*sen)ⁿ= 1 (cos + i _*sen)^m

(cos + + i _*sen)ⁿ= 1 (cos mƟ + i _*sen mƟ)

Bây giờ, nó được sử dụng nếu z = a + b * i là số phức, thì 1 z = a-b * i. Do đó:

(cos + + i _*sen)ⁿ = cos (mƟ) - tôi _*sen (mƟ).

Sử dụng cos (x) = cos (-x) và -sen (x) = sin (-x), chúng ta phải:

(cos + + i _*sen)ⁿ= [cos (mƟ) - tôi _*sen (mƟ)]

(cos + + i _*sen)ⁿ= cos (- mƟ) + i _*sen (-mƟ)

(cos + + i _*sen)ⁿ= cos (nƟ) - tôi _*sen (nƟ).

Theo cách đó, chúng ta có thể nói rằng định lý áp dụng cho tất cả các giá trị nguyên của "n".

Bài tập đã giải quyết

Tính toán sức mạnh tích cực

Một trong những phép toán với số phức ở dạng cực của nó là phép nhân giữa hai số này; trong trường hợp đó, các mô-đun được nhân lên và các đối số được thêm vào.

Nếu bạn có hai số phức z₁ và z₂ và bạn muốn tính toán (z₁* z₂)², Sau đó, chúng tôi tiến hành như sau:

z₁z₂ = [r₁ (cos₁ + tôi _*sen₁)] * [r₂(cos₂ + tôi _*sen₂)]

Các tài sản phân phối được áp dụng:

z₁z₂= r₁ r₂(cos_{1 *} Ɵ₂ + tôi _* Ɵ_{1 *}tôi _*sen₂+ tôi _*sen_{1 *}Ɵ₂+ tôi²_* sen_{1 *} sen₂).

Chúng được nhóm lại, lấy thuật ngữ "i" làm yếu tố phổ biến của biểu thức:

z₁z₂= r₁ r₂[cos_{1 *} Ɵ₂ + tôi (cos_{1 *}sen₂+ sen_{1 *}Ɵ₂) + tôi²_* sen_{1 *} sen₂]

Tôi thế nào² = -1, được thay thế trong biểu thức:

z₁z₂= r₁ r₂[cos_{1 *} Ɵ₂ + tôi (cos_{1 *}sen₂+ sen_{1 *}Ɵ₂) - sen_{1 *} sen₂]

Các thuật ngữ thực được kết hợp lại với thực và tưởng tượng với tưởng tượng:

z₁z₂= r₁ r₂[(cos_{1 *} Ɵ₂ - sen_{1 *} sen₂) + i (cos_{1 *}sen₂+ sen_{1 *}Ɵ₂)]

Cuối cùng, các thuộc tính lượng giác được áp dụng:

z₁z₂= r₁ r₂[cos (Ɵ₁+ ɵ₂) + i sen (Ɵ₁+ ɵ₂)].

Tóm lại:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂[cos (Ɵ₁+ ɵ₂) + i sen (Ɵ₁+ ɵ₂)))²

= R₁²r₂²[cos 2 * (₁+ ɵ₂) + i sen 2 * (₁+ ɵ₂)].

Bài tập 1

Viết số phức dưới dạng cực nếu z = - 2 -2i. Sau đó, sử dụng định lý Moivre, tính z⁴.

Giải pháp

Số phức z = -2 -2i được biểu thị dưới dạng hình chữ nhật z = a + bi, trong đó:

a = -2.

b = -2.

Biết rằng dạng cực là z = r (cos Ɵ + i _*sin Ɵ), bạn cần xác định giá trị của mô-đun "r" và giá trị của đối số "". Khi r = (a² + b²), các giá trị đã cho được thay thế:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Sau đó, để xác định giá trị của "Ɵ", dạng hình chữ nhật này được áp dụng, được đưa ra theo công thức:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Khi tan (Ɵ) = 1 và bạn phải<0, entonces se tiene que:

= Arctan (1) +.

= Π / 4 +

= 5Π / 4.

Vì giá trị của "r" và "" đã thu được, nên số phức z = -2 -2i có thể được biểu thị ở dạng cực bằng cách thay thế các giá trị:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _*sen (5Π / 4)).

Bây giờ định lý Moivre được sử dụng để tính z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _*sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _*sen (5Π)).

Bài tập 2

Tìm tích của các số phức bằng cách biểu thị nó ở dạng cực của nó:

z1 = 4 (cos 50^o + tôi_* 50 sen^o)

z2= 7 (cos 100^o + tôi_* 100 sen^o).

Sau đó, tính (z1 * z2) ².

Giải pháp

Đầu tiên, tích của các số đã cho được tạo thành:

z₁ z₂= [4 (cos 50^o + tôi_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + tôi_* 100 sen^o)]

Sau đó nhân các mô-đun lại với nhau và thêm các đối số:

z₁ z₂= (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + tôi_* sen (50^o + 100^o)]

Biểu thức được đơn giản hóa:

z₁ z₂= 28 _* (cos 150^o + (tôi_* 150 sen^o).

Cuối cùng, định lý Moivre được áp dụng:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (tôi_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (tôi_* 300 sen^o)).

Tính toán sức mạnh tiêu cực

Để chia hai số phức z₁ và z₂ở dạng cực của nó, mô-đun được chia và các đối số được trừ. Do đó, thương số là z₁ ÷ z₂ và nó được thể hiện như sau:

z₁ ÷ z₂= r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (Ɵ₁- ɵ₂))).

Như trong trường hợp trước, nếu bạn muốn tính toán (z1 z2) ³ trước tiên, phép chia được thực hiện và sau đó định lý Moivre được sử dụng.

Bài tập 3

Đưa ra:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

tính (z1 z2).

Giải pháp

Theo các bước được mô tả ở trên, có thể kết luận rằng:

(z1 ÷ z2) = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)))

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)))

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Tài liệu tham khảo

Arthur Goodman, L. H. (1996). Đại số và lượng giác với hình học phân tích. Giáo dục Pearson.
Croucher, M. (s.f.). Từ định lý của Moivre cho danh tính Trig. Dự án trình diễn Wolfram.
Hazewinkel, M. (2001). Bách khoa toàn thư.
Max Peters, W. L. (1972). Đại số và lượng giác.
Pérez, C. D. (2010). Giáo dục Pearson.
Stanley, G. (s.f.). Đại số tuyến tính Graw-Hill.
, M. (1997). Tiền ung thư Giáo dục Pearson.

Toán học

« Định lý Lamy (với bài tập đã giải) Định lý Thales of Miletus Đầu tiên, Thứ hai và Ví dụ »