Thuyết minh và định lý nhị thức

các định lý nhị thức là một phương trình cho chúng ta biết cách phát triển biểu thức có dạng (a + b)ⁿ cho một số tự nhiên n. Một nhị thức không nhiều hơn tổng của hai phần tử, như (a + b). Nó cũng cho phép chúng tôi biết một thuật ngữ được đưa ra bởi một^kb^n-k hệ số đi với nó là gì.

Định lý này thường được quy cho nhà phát minh, nhà vật lý và toán học người Anh Sir Isaac Newton; tuy nhiên, một số hồ sơ đã được tìm thấy chỉ ra rằng ở Trung Đông sự tồn tại của nó đã được biết đến, vào khoảng năm 1000.

Chỉ số

• 1 số tổ hợp
• 2 Trình diễn
• 3 ví dụ
  • 3.1 Danh tính 1
  • 3.2 Danh tính 2
• 4 Một cuộc biểu tình khác
  • 4.1 Trình diễn bằng cảm ứng
• 5 sự tò mò
• 6 tài liệu tham khảo

Số kết hợp

Định lý nhị thức cho chúng ta biết về mặt toán học như sau:

Trong biểu thức này a và b là số thực và n là số tự nhiên.

Trước khi trình diễn, chúng ta hãy xem một số khái niệm cơ bản cần thiết.

Số tổ hợp hoặc tổ hợp n trong k được biểu thị như sau:

Biểu mẫu này biểu thị giá trị của bao nhiêu tập con với k phần tử có thể được chọn từ một tập hợp n phần tử. Biểu thức đại số của nó được đưa ra bởi:

Hãy xem một ví dụ: giả sử chúng ta có một nhóm bảy quả bóng, trong đó hai quả màu đỏ và phần còn lại có màu xanh.

Chúng tôi muốn biết có bao nhiêu cách chúng tôi có thể đặt chúng liên tiếp. Một cách có thể là đặt hai quả đỏ ở vị trí thứ nhất và thứ hai, và những quả bóng còn lại ở các vị trí còn lại.

Tương tự như trường hợp trước, chúng ta có thể cho các quả bóng màu đỏ ở vị trí đầu tiên và cuối cùng, và chiếm các quả bóng khác bằng các quả bóng màu xanh.

Bây giờ, một cách hiệu quả để đếm xem có bao nhiêu cách chúng ta có thể sắp xếp các quả bóng liên tiếp bằng cách sử dụng các số tổ hợp. Chúng ta có thể xem mỗi vị trí là một thành phần của tập hợp sau:

Tiếp theo, chỉ cần chọn một tập hợp con gồm hai phần tử, trong đó mỗi phần tử này đại diện cho vị trí mà các quả bóng màu đỏ sẽ chiếm. Chúng ta có thể đưa ra lựa chọn này theo mối quan hệ được đưa ra bởi:

Theo cách này, chúng ta có 21 cách để sắp xếp những quả bóng như vậy.

Ý tưởng chung của ví dụ này sẽ rất hữu ích trong việc chứng minh định lý nhị thức. Hãy xem xét một trường hợp cụ thể: nếu n = 4, chúng ta có (a + b)⁴, không có gì hơn:

Khi chúng tôi phát triển sản phẩm này, chúng tôi có tổng các thuật ngữ thu được bằng cách nhân một yếu tố của mỗi trong bốn yếu tố (a + b). Vì vậy, chúng tôi sẽ có các điều khoản sẽ có dạng:

Nếu chúng tôi muốn có được thời hạn của biểu mẫu để⁴, chỉ cần nhân theo cách sau:

Lưu ý rằng chỉ có một cách để có được yếu tố này; nhưng điều gì xảy ra nếu bây giờ chúng ta tìm thuật ngữ của biểu mẫu để²b²? Vì "a" và "b" là số thực và do đó, luật giao hoán là hợp lệ, chúng tôi có một cách để có được thuật ngữ này là nhân với các thành viên như được chỉ ra bởi các mũi tên.

Việc thực hiện tất cả các thao tác này thường hơi tẻ nhạt, nhưng nếu chúng ta thấy thuật ngữ "a" là sự kết hợp mà chúng ta muốn biết có bao nhiêu cách chúng ta có thể chọn hai "a" từ một bộ bốn yếu tố, chúng ta có thể sử dụng ý tưởng của ví dụ trước. Vì vậy, chúng tôi có những điều sau đây:

Vì vậy, chúng ta biết rằng trong sự phát triển cuối cùng của biểu thức (a + b)⁴ chúng ta sẽ có chính xác 6a²b². Sử dụng cùng một ý tưởng cho các yếu tố khác, bạn phải:

Sau đó, chúng tôi thêm các biểu thức thu được trước đó và chúng tôi phải:

Đây là một minh chứng chính thức cho trường hợp chung trong đó "n" là bất kỳ số tự nhiên nào.

Trình diễn

Lưu ý rằng các điều khoản còn lại khi phát triển (a + b)ⁿ có dạng^kb^n-k, trong đó k = 0,1, ..., n. Sử dụng ý tưởng của ví dụ trước, chúng ta có cách chọn các biến "k" "a" từ các yếu tố "n" là:

Bằng cách chọn theo cách này, chúng tôi sẽ tự động chọn các biến n-k "b". Từ đó, nó theo sau:

Ví dụ

Xem xét (a + b)⁵, Sự phát triển của nó là gì?

Theo định lý nhị thức, chúng ta phải:

Định lý nhị thức rất hữu ích nếu chúng ta có một biểu thức trong đó chúng ta muốn biết hệ số của một thuật ngữ cụ thể là gì mà không phải thực hiện phát triển đầy đủ. Để làm ví dụ, chúng ta có thể lấy câu hỏi sau: hệ số của x là gì⁷và⁹ trong sự phát triển của (x + y)¹⁶?

Theo định lý nhị thức, chúng ta có hệ số đó là:

Một ví dụ khác là: hệ số của x là gì⁵và⁸ trong sự phát triển của (3x-7y)¹³?

Đầu tiên chúng ta viết lại biểu thức một cách thuận tiện; đây là:

Sau đó, sử dụng định lý nhị thức, chúng ta có hệ số mong muốn là khi chúng ta có k = 5

Một ví dụ khác về việc sử dụng định lý này là trong việc chứng minh một số danh tính phổ biến, chẳng hạn như những định nghĩa được đề cập dưới đây.

Danh tính 1

Nếu "n" là số tự nhiên, chúng ta phải:

Để trình diễn, chúng tôi sử dụng định lý nhị thức, trong đó cả "a" và "b" đều lấy giá trị là 1. Khi đó ta có:

Bằng cách này, chúng tôi đã chứng minh danh tính đầu tiên.

Danh tính 2

Nếu "n" là số tự nhiên, thì

Theo định lý nhị thức, chúng ta phải:

Một cuộc biểu tình khác

Chúng ta có thể thực hiện một minh chứng khác nhau cho định lý nhị thức bằng phương pháp quy nạp và định danh pascal, cho chúng ta biết rằng nếu "n" và "k" là các số nguyên dương gặp n ≥ k, thì:

Trình diễn bằng cảm ứng

Trước tiên hãy xem rằng cơ sở quy nạp được thực hiện. Nếu n = 1, chúng ta phải:

Thật vậy, chúng tôi thấy rằng nó được thực hiện. Bây giờ, hãy để n = j sao cho nó được hoàn thành:

Chúng tôi muốn thấy rằng với n = j + 1, nó được thực hiện rằng:

Vì vậy, chúng tôi phải:

Theo giả thuyết, chúng ta biết rằng:

Sau đó, sử dụng tài sản phân phối:

Sau đó, phát triển từng tổng kết chúng ta có:

Bây giờ, nếu chúng ta nhóm lại với nhau một cách thuận tiện, chúng ta phải:

Sử dụng danh tính của pascal, chúng ta phải:

Cuối cùng, lưu ý rằng:

Do đó, chúng ta thấy rằng định lý nhị thức được hoàn thành cho tất cả "n" thuộc về số tự nhiên và với điều này, phép thử kết thúc.

Tò mò

Số tổ hợp (nk) cũng được gọi là hệ số nhị thức vì nó chính xác là hệ số xuất hiện trong sự phát triển của nhị thức (a + b)ⁿ.

Isaac Newton đã đưa ra một khái quát của định lý này cho trường hợp trong đó số mũ là một số thực; định lý này được gọi là định lý nhị thức của Newton.

Đã có trong thời cổ đại, kết quả này đã được biết đến trong trường hợp cụ thể trong đó n = 2. Trường hợp này được đề cập trong Yếu tố của các hạt nhân.

Tài liệu tham khảo

1. Johnsonbaugh Richard. Toán học rời rạc PHH
2. Kenneth.H. Rosen. Toán học rời rạc và các ứng dụng của nó. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Tiến sĩ & Marc Lipson. Toán học rời rạc. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Toán học rời rạc và kết hợp. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Toán học rời rạc và kết hợp.Anthropos