Chia sẻ:
Chuyển đổi định nghĩa Laplace, lịch sử, những gì nó làm, thuộc tính
các chuyển đổi từ Laplace trong những năm gần đây có tầm quan trọng lớn trong các nghiên cứu về kỹ thuật, toán học, vật lý, trong số các lĩnh vực khoa học khác, cũng như rất quan tâm đến lý thuyết, cung cấp một cách đơn giản để giải quyết các vấn đề đến từ khoa học và kỹ thuật.
Ban đầu, phép biến đổi Laplace được trình bày bởi Pierre-Simon Laplace trong nghiên cứu về lý thuyết xác suất và ban đầu được coi là một đối tượng toán học chỉ đơn thuần là lợi ích lý thuyết.
Các ứng dụng hiện tại phát sinh khi các nhà toán học khác nhau cố gắng đưa ra lời biện minh chính thức cho "quy tắc hoạt động" được sử dụng bởi Heaviside trong nghiên cứu các phương trình của lý thuyết điện từ.
Chỉ số
- 1 Định nghĩa
- 1.1 Ví dụ
- 1.2 Định lý (Điều kiện đủ để tồn tại)
- 1.3 Biến đổi Laplace của một số chức năng cơ bản
- 2 Lịch sử
- 2.1 1782, Laplace
- 2.2 Oliver Heaviside
- 3 thuộc tính
- 3.1 Tuyến tính
- 3.2 Định lý dịch đầu tiên
- 3.3 Định lý dịch thứ hai
- 3,4 Thay đổi quy mô
- 3.5 độ chính xác của Laplace của các công cụ phái sinh
- 3.6 Biến đổi Laplace của tích phân
- 3.7 Nhân với tn
- 3,8 chia theo t
- 3.9 Chức năng định kỳ
- 3.10 Hành vi của F (s) khi s có xu hướng vô cùng
- 4 phép biến đổi nghịch đảo
- 4.1 Bài tập
- 5 ứng dụng của biến đổi Laplace
- 5.1 Phương trình vi phân
- 5.2 Hệ phương trình vi phân
- 5.3 Cơ học và mạch điện
- 6 tài liệu tham khảo
Định nghĩa
Đặt f là hàm được định nghĩa cho t ≥ 0. Biến đổi Laplace được định nghĩa như sau:
Người ta nói rằng Biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân trước đó hội tụ, nếu không, biến đổi Laplace không tồn tại.
Nói chung, để biểu thị chức năng mà người ta muốn chuyển đổi, các chữ cái viết thường được sử dụng và chữ in hoa tương ứng với chuyển đổi của nó. Theo cách này, chúng ta sẽ có:
Ví dụ
Xét hàm hằng số f (t) = 1. Ta có biến đổi của nó là:
Bất cứ khi nào tích phân hội tụ, luôn được cung cấp rằng s> 0. Nếu không, s < 0, la integral diverge.
Đặt g (t) = t. Biến đổi Laplace của bạn được đưa ra bởi
Bằng cách tích hợp bởi các bộ phận và biết rằng bạn-thứ nó có xu hướng 0 khi t có xu hướng vô cùng và s> 0, cùng với ví dụ trước chúng ta có:
Biến đổi có thể tồn tại hoặc không tồn tại, ví dụ cho hàm f (t) = 1 / t tích phân xác định biến đổi Laplace của nó không hội tụ và do đó biến đổi của nó không tồn tại.
Điều kiện đủ để đảm bảo rằng biến đổi Laplace của hàm f tồn tại, là f liên tục ở các phần cho t 0 và theo thứ tự hàm mũ.
Người ta nói rằng một hàm liên tục ở các phần cho t 0, khi với bất kỳ khoảng [a, b] nào với a> 0, có một số hữu hạn các điểm tk, trong đó f có sự không liên tục và liên tục trong mỗi phép con [tk-1,tk].
Mặt khác, người ta nói rằng một hàm có thứ tự hàm mũ c nếu có các hằng số thực M> 0, c và T> 0 sao cho:
Như ví dụ, chúng ta có f (t) = t2 là theo cấp số nhân, vì | t2| < e3t cho tất cả t> 0.
Theo một cách chính thức, chúng ta có định lý sau
Định lý (Điều kiện đủ để tồn tại)
Nếu f là hàm liên tục trên mỗi phần cho t> 0 và theo thứ tự hàm mũ c, thì có biến đổi Laplace cho s> c.
Điều quan trọng là phải nhấn mạnh rằng đây là một điều kiện đủ, nghĩa là có thể có một hàm không đáp ứng các điều kiện này và thậm chí sau đó biến đổi Laplace của nó tồn tại.
Một ví dụ về điều này là hàm f (t) = t-1/2 không liên tục trong các phần của t ≥ 0 nhưng biến đổi Laplace của nó tồn tại.
Biến đổi Laplace của một số chức năng cơ bản
Bảng sau đây cho thấy các biến đổi Laplace của các hàm phổ biến nhất.
Lịch sử
Biến đổi Laplace mang tên của Pierre-Simon Laplace, nhà toán học và nhà thiên văn học lý thuyết người Pháp sinh năm 1749 và qua đời năm 1827. Danh tiếng của ông được biết đến như là Newton của Pháp.
Năm 1744, Leonard Euler đã dành những nghiên cứu của mình cho các tích phân với hình thức
như các giải pháp của phương trình vi phân thông thường, nhưng nhanh chóng từ bỏ cuộc điều tra này. Sau đó, Joseph Louis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, cũng đã điều tra loại tích phân này và liên quan chúng với lý thuyết xác suất.
1782, Laplace
Vào năm 1782, Laplace bắt đầu nghiên cứu các tích phân này như là giải pháp cho các phương trình vi phân và theo các nhà sử học, năm 1785, ông quyết định cải tổ vấn đề, sau này đã sinh ra các biến đổi Laplace như ngày nay chúng được hiểu.
Đã được đưa vào lĩnh vực lý thuyết xác suất, nó ít được các nhà khoa học thời đó quan tâm và chỉ được xem là một đối tượng toán học chỉ quan tâm đến lý thuyết.
Oliver Heaviside
Đó là vào giữa thế kỷ XIX khi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside phát hiện ra rằng các toán tử vi phân có thể được coi là các biến đại số, do đó đưa ứng dụng hiện đại của chúng vào các phép biến đổi Laplace.
Oliver Heaviside là một nhà vật lý, kỹ sư điện và toán học người Anh, sinh năm 1850 tại London và mất năm 1925. Trong khi cố gắng giải các bài toán về phương trình vi phân áp dụng cho lý thuyết rung động và sử dụng nghiên cứu của Laplace, ông bắt đầu định hình các ứng dụng hiện đại của biến đổi Laplace.
Các kết quả được trưng bày bởi Heaviside đã lan truyền nhanh chóng trong cộng đồng khoa học thời bấy giờ, nhưng vì công việc của nó không nghiêm ngặt nên nó nhanh chóng bị chỉ trích bởi các nhà toán học truyền thống hơn.
Tuy nhiên, sự hữu ích của công việc của Heaviside trong việc giải các phương trình vật lý khiến phương pháp của ông trở nên phổ biến với các nhà vật lý và kỹ sư.
Mặc cho những thất bại này và sau một vài thập kỷ nỗ lực thất bại, vào đầu thế kỷ 20, một lời biện minh nghiêm ngặt cho các quy tắc hoạt động được đưa ra bởi Heaviside có thể được đưa ra..
Những nỗ lực này đã được đền đáp nhờ vào nỗ lực của các nhà toán học đa dạng như Bromwich, Carson, van der Pol, trong số những người khác..
Thuộc tính
Trong số các thuộc tính của biến đổi Laplace, nổi bật sau:
Tuyến tính
Đặt c1 và c2 là các hằng số và các hàm f (t) và g (t) có các phép biến đổi Laplace lần lượt là F (s) và G (s), sau đó chúng ta phải:
Do tính chất này, người ta nói rằng biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính.
Ví dụ
Định lý dịch đầu tiên
Nếu nó xảy ra rằng:
Và 'a' là bất kỳ số thực nào, sau đó:
Ví dụ
Khi biến đổi Laplace của cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) thì:
Định lý dịch thứ hai
Vâng
Sau đó
Ví dụ
Nếu f (t) = t ^ 3, thì F (s) = 6 / s ^ 4. Và do đó, sự chuyển đổi của
là G (s) = 6e-2s/ s ^ 4
Thay đổi quy mô
Vâng
Và 'a' là một thực tế khác không, chúng ta phải
Ví dụ
Vì biến đổi của f (t) = sin (t) là F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) nên nó phải là
sự thay đổi của Laplace của các công cụ phái sinh
Nếu f, f ', f ", ..., f(n) liên tục với t 0 và theo thứ tự hàm mũ và f(n)(t) là liên tục trong các phần cho t ≥ 0, sau đó
Biến đổi Laplace của tích phân
Vâng
Sau đó
Nhân với tn
Nếu chúng ta phải
Sau đó
Phân chia theo t
Nếu chúng ta phải
Sau đó
Chức năng định kỳ
Đặt f là hàm tuần hoàn có chu kỳ T> 0, nghĩa là f (t + T) = f (t), sau đó
Hành vi của F (s) khi s có xu hướng vô cùng
Nếu f liên tục theo các phần và theo thứ tự hàm mũ và
Sau đó
Biến đổi nghịch đảo
Khi chúng ta áp dụng biến đổi Laplace cho hàm f (t), chúng ta thu được F (s), đại diện cho biến đổi đó. Theo cùng một cách chúng ta có thể nói rằng f (t) là biến đổi Laplace ngược của F (s) và được viết là
Chúng ta biết rằng các biến đổi Laplace của f (t) = 1 và g (t) = t là F (s) = 1 / s và G (s) = 1 / s2 tương ứng, do đó chúng ta phải
Một số biến đổi Laplace ngược phổ biến như sau
Ngoài ra, biến đổi Laplace ngược là tuyến tính, nghĩa là, nó được thực hiện mà
Tập thể dục
Tìm
Để giải bài tập này, chúng ta phải khớp hàm F (s) với một trong các bảng trước đó. Trong trường hợp này, nếu chúng ta lấy n + 1 = 5 và sử dụng thuộc tính tuyến tính của biến đổi nghịch đảo, chúng ta nhân và chia cho 4! Bắt
Đối với phép biến đổi nghịch đảo thứ hai, chúng ta áp dụng các phân số một phần để viết lại hàm F (s) và sau đó là thuộc tính của tuyến tính, thu được
Như chúng ta có thể thấy từ các ví dụ này, thông thường là hàm F (s) được ước tính không đồng ý chính xác với bất kỳ hàm nào được đưa ra trong bảng. Đối với những trường hợp này, như được quan sát, nó là đủ để viết lại hàm cho đến khi đạt đến hình thức thích hợp.
Các ứng dụng của biến đổi Laplace
Phương trình vi phân
Ứng dụng chính của biến đổi Laplace là giải phương trình vi phân.
Sử dụng tính chất của phép biến đổi đạo hàm, rõ ràng là
Và các dẫn xuất n-1 được đánh giá tại t = 0.
Thuộc tính này làm cho phép biến đổi rất hữu ích để giải các bài toán giá trị ban đầu trong đó các phương trình vi phân có hệ số không đổi có liên quan.
Các ví dụ sau đây cho thấy cách sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân.
Ví dụ 1
Đưa ra vấn đề giá trị ban đầu sau đây
Sử dụng biến đổi Laplace để tìm giải pháp.
Chúng tôi áp dụng biến đổi Laplace cho từng thành viên của phương trình vi phân
Đối với tài sản của việc chuyển đổi một đạo hàm, chúng ta có
Bằng cách phát triển tất cả các biểu thức và thanh toán bù trừ Và chúng tôi còn lại
Sử dụng phân số một phần để viết lại phía bên phải của phương trình chúng ta thu được
Cuối cùng, mục tiêu của chúng tôi là tìm một hàm y (t) thỏa mãn phương trình vi phân. Sử dụng biến đổi Laplace ngược cho chúng ta kết quả
Ví dụ 2
Giải quyết
Như trong trường hợp trước, chúng ta áp dụng phép biến đổi trên cả hai mặt của phương trình và thuật ngữ riêng biệt theo thuật ngữ.
Theo cách này, chúng tôi có kết quả
Thay thế với các giá trị ban đầu đã cho và xóa Y (s)
Sử dụng các phân số đơn giản, chúng ta có thể viết lại phương trình như sau
Và việc áp dụng biến đổi nghịch đảo của Laplace mang lại kết quả cho chúng ta
Trong các ví dụ này, người ta có thể đi đến kết luận sai rằng phương pháp này không tốt hơn nhiều so với các phương pháp truyền thống để giải phương trình vi phân.
Ưu điểm được cung cấp bởi biến đổi Laplace là không cần thiết phải sử dụng biến thể tham số hoặc lo lắng về các trường hợp khác nhau của phương pháp hệ số không xác định.
Ngoài việc giải các bài toán về giá trị ban đầu bằng phương pháp này, ngay từ đầu chúng tôi sử dụng các điều kiện ban đầu, do đó không cần thiết phải thực hiện các phép tính khác để tìm giải pháp cụ thể.
Hệ phương trình vi phân
Biến đổi Laplace cũng có thể được sử dụng để tìm giải pháp cho các phương trình vi phân thông thường đồng thời, như ví dụ sau đây cho thấy.
Ví dụ
Giải quyết
Với các điều kiện ban đầu x (0) = 8 e và (0) = 3.
Nếu chúng ta phải
Sau đó
Giải quyết kết quả trong chúng tôi
Và khi áp dụng biến đổi nghịch đảo Laplace, chúng ta có
Cơ điện và mạch điện
Biến đổi Laplace có tầm quan trọng lớn trong vật lý, chủ yếu có các ứng dụng cho mạch cơ và điện.
Một mạch điện đơn giản bao gồm các yếu tố sau
Một công tắc, pin hoặc nguồn, một cuộn cảm, điện trở và tụ điện. Khi đóng công tắc, một dòng điện được tạo ra được ký hiệu là i (t). Điện tích tụ được ký hiệu là q (t).
Theo định luật thứ hai của Kirchhoff, điện áp do nguồn E tạo ra cho mạch kín phải bằng tổng của mỗi lần sụt điện áp.
Dòng điện i (t) liên quan đến điện tích q (t) trong tụ điện bởi i = dq / dt. Mặt khác, điện áp rơi được xác định trong mỗi phần tử như sau:
Điện áp rơi trong điện trở là iR = R (dq / dt)
Điện áp rơi trong một cuộn cảm là L (di / dt) = L (d2q / dt2)
Điện áp rơi trong tụ điện là q / C
Với dữ liệu này và áp dụng định luật Kirchhoff thứ hai cho mạch đơn giản đã đóng, phương trình vi phân bậc hai được lấy để mô tả hệ thống và cho phép chúng ta xác định giá trị của q (t).
Ví dụ
Một cuộn cảm, tụ điện và điện trở được kết nối với pin E, như trong hình. Cuộn cảm có 2 henries, tụ điện 0,02 farads và điện trở 16 onhm. Tại thời điểm t = 0, mạch được đóng lại. Tìm tải và dòng điện bất cứ lúc nào t> 0 nếu E = 300 volt.
Chúng ta có phương trình vi phân mô tả mạch này như sau
Trong đó các điều kiện ban đầu là q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).
Áp dụng biến đổi Laplace chúng ta có được điều đó
Và xóa Q (t)
Sau đó, áp dụng biến đổi Laplace ngược mà chúng ta có
Tài liệu tham khảo
- G. Holbrook, J. (1987). Biến đổi Laplace cho các kỹ sư điện tử. Vôi.
- Ruiz, L. M., & Thoát vị, M. P. (2006). Phương trình vi phân và biến đổi Laplace với các ứng dụng. Biên tập UPV.
- Simmons, G. F. (1993). Phương trình vi phân với các ứng dụng và ghi chú lịch sử. Đồi McGraw.
- Spiegel, M. R. (1991). Biến đổi Laplace. Đồi McGraw.
- Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Phương trình vi phân với các vấn đề của các giá trị ở biên giới. Biên tập viên học tập báo thù, S.A..