Phương pháp phân chia tổng hợp và bài tập đã giải

các bộ phận tổng hợp đó là một cách đơn giản để chia một đa thức P (x) cho bất kỳ một trong các dạng d (x) = x - c. Nó là một công cụ rất hữu ích vì ngoài việc cho phép chúng ta chia đa thức, nó còn cho phép chúng ta đánh giá một đa thức P (x) trong bất kỳ số c nào, từ đó cho chúng ta biết chính xác số này có phải là số 0 hay không của đa thức.

Nhờ thuật toán chia, chúng ta biết rằng nếu chúng ta có hai đa thức P (x) và d (x) không đổi, có đa thức q (x) và r (x) duy nhất sao cho đúng là P (x) = q (x) d (x) + r (x), trong đó r (x) bằng 0 hoặc nhỏ hơn q (x). Các đa thức này được gọi là thương số và dư lượng hoặc phần còn lại tương ứng.

Trong các trường hợp khi đa thức d (x) có dạng x-c, phép chia tổng hợp cho chúng ta một cách ngắn để tìm ai là q (x) và r (x).

Chỉ số

• 1 Phương pháp phân chia tổng hợp
• 2 bài tập đã giải
  • 2.1 Ví dụ 1
  • 2.2 Ví dụ 2
  • 2.3 Ví dụ 3
  • 2.4 Ví dụ 4
• 3 tài liệu tham khảo

Phương pháp phân chia tổng hợp

Đặt P (x) = a_nxⁿ+một_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ đa thức chúng ta muốn chia và d (x) = x-c là ước. Để chia theo phương pháp phân chia tổng hợp, chúng tôi tiến hành như sau:

1- Chúng tôi viết các hệ số của P (x) trong hàng đầu tiên. Nếu bất kỳ sức mạnh nào của X không xuất hiện, chúng ta đặt số 0 làm hệ số của nó.

2- Ở hàng thứ hai, bên trái của một_n đặt c và vẽ các đường phân chia như trong hình sau:

3- Chúng tôi hạ hệ số dẫn xuống hàng thứ ba.

Trong biểu thức này b_n-1= a_n

4 - Ta nhân c với hệ số dẫn b_n-1 và kết quả được viết ở hàng thứ hai, nhưng một cột bên phải.

5- Chúng tôi thêm cột nơi chúng tôi đã viết kết quả trước đó và kết quả chúng tôi đặt nó dưới tổng đó; nghĩa là trong cùng một cột, hàng thứ ba.

Bằng cách thêm vào, chúng tôi có kết quả_n-1+c * b_n-1, để thuận tiện, chúng tôi sẽ gọi b_n-2

6- Chúng tôi nhân c với kết quả trước đó và viết kết quả sang bên phải ở hàng thứ hai.

7- Chúng tôi lặp lại bước 5 và 6 cho đến khi đạt được hệ số a₀.

8- Viết câu trả lời; đó là thương số và dư lượng. Khi chúng ta đang thực hiện việc phân chia một đa thức bậc n giữa một đa thức bậc 1, chúng ta có thương số nghiêm trọng của bậc n-1.

Các hệ số của đa thức thương số sẽ là các số của hàng thứ ba trừ hàng cuối cùng, sẽ là đa thức còn lại hoặc phần còn lại của phép chia.

Bài tập đã giải quyết

Ví dụ 1

Thực hiện phép chia sau bằng phương pháp chia tổng hợp:

(x⁵+3x⁴-7x³+2 lần²-8+ + 1): (x + 1).

Giải pháp

Đầu tiên chúng tôi viết các hệ số cổ tức như sau:

Sau đó, chúng tôi viết c ở phía bên trái, ở hàng thứ hai, cùng với các dòng chia. Trong ví dụ này c = -1.

Chúng tôi hạ thấp hệ số hàng đầu (trong trường hợp này b_n-1 = 1) và nhân nó với -1:

Chúng tôi viết kết quả của bạn sang bên phải ở hàng thứ hai, như hình dưới đây:

Chúng tôi thêm các số trong cột thứ hai:

Chúng tôi nhân 2 với -1 và viết kết quả vào cột thứ ba, hàng thứ hai:

Chúng tôi thêm vào cột thứ ba:

Chúng tôi tiến hành tương tự cho đến khi chúng tôi đạt đến cột cuối cùng:

Do đó, chúng ta có số cuối cùng thu được là phần còn lại của phép chia và các số còn lại là các hệ số của đa thức thương. Điều này được viết như sau:

Nếu chúng tôi muốn xác minh rằng kết quả là chính xác, thì đủ để xác minh rằng phương trình sau được thực hiện:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Vì vậy, chúng tôi có thể xác minh rằng kết quả thu được là chính xác.

Ví dụ 2

Thực hiện phép chia đa thức tiếp theo bằng phương pháp chia tổng hợp

(7x³-x + 2): (x + 2)

Giải pháp

Trong trường hợp này, chúng tôi có thuật ngữ x² nó không xuất hiện, vì vậy chúng tôi sẽ viết 0 là hệ số của nó. Vì vậy, đa thức sẽ giống như 7x³+0x²-x + 2.

Chúng tôi viết các hệ số của chúng liên tiếp, đây là:

Chúng ta viết giá trị của C = -2 sang bên trái ở hàng thứ hai và vẽ các đường phân chia.

Chúng tôi hạ thấp hệ số hàng đầu b_n-1 = 7 và chúng tôi nhân nó với -2, viết kết quả của nó vào hàng thứ hai bên phải.

Chúng tôi thêm và tiến hành như đã giải thích trước đó, cho đến khi chúng tôi đạt đến thuật ngữ cuối cùng:

Trong trường hợp này, phần còn lại là r (x) = - 52 và thương số thu được là q (x) = 7x²-14x + 27.

Ví dụ 3

Một cách khác để sử dụng phép chia tổng hợp là như sau: giả sử chúng ta có P (x) đa thức bậc n và chúng ta muốn biết giá trị nào khi đánh giá nó trong x = c.

Theo thuật toán của phép chia, chúng ta có thể viết đa thức P (x) theo cách sau:

Trong biểu thức này, q (x) và r (x) lần lượt là thương số và phần còn lại. Bây giờ, nếu d (x) = x- c, khi đánh giá c trong đa thức chúng ta tìm thấy như sau:

Đối với điều này, chúng ta chỉ cần tìm r (x), và điều này chúng ta có thể làm được nhờ vào phép chia tổng hợp.

Ví dụ: chúng ta có đa thức P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37 và chúng tôi muốn biết giá trị của nó là gì khi đánh giá nó trong x = 5. Để thực hiện việc phân chia giữa P (x) và d (x) = x -5 bằng phương pháp phân chia tổng hợp:

Khi các thao tác được thực hiện, chúng tôi biết rằng chúng tôi có thể viết P (x) theo cách sau:

P (x) = (x⁶-4 lần⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Do đó, khi đánh giá nó, chúng ta phải:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Như chúng ta có thể thấy, có thể sử dụng phép chia tổng hợp để tìm giá trị của đa thức khi đánh giá nó trong c thay vì chỉ đơn giản thay thế c bằng x. 

Nếu chúng ta cố gắng đánh giá P (5) theo cách truyền thống, chúng ta sẽ cần thực hiện một số tính toán có xu hướng trở nên tẻ nhạt.

Ví dụ 4

Thuật toán phân chia cho đa thức cũng được thực hiện cho đa thức với các hệ số phức tạp và do đó, chúng ta có phương pháp phân chia tổng hợp cũng hoạt động cho các đa thức đã nói. Tiếp theo chúng ta sẽ thấy một ví dụ.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chia tổng hợp để chỉ ra rằng z = 1+ 2i là một số không của đa thức P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); nghĩa là phần còn lại của phép chia P (x) giữa d (x) = x - z bằng 0.

Chúng ta tiến hành như trước: ở hàng đầu tiên chúng ta viết các hệ số của P (x), sau đó trong lần thứ hai chúng ta viết z và vẽ các đường phân chia.

Chúng tôi đã phân chia như trước đây; đây là:

Chúng ta có thể thấy rằng dư lượng bằng không; do đó, chúng tôi kết luận rằng, z = 1+ 2i là số không của P (x).

Tài liệu tham khảo

1. Hói Aurelio. Đại số. Nhóm biên tập Patria.
2. Demana, Chờ đợi, Foley & Kennedy. Precalculus: Đồ thị, số, đại số Ed Ed. Giáo dục Pearson.
3. Flemming W & Varserg D. Đại số và lượng giác với hình học phân tích. Hội trường Prentice
4. Michael Sullivan. Tiền ung thư Ed lần thứ 4 Giáo dục Pearson.
5. Đỏ Armando O. Đại số 1 6 Ed. Athenaeum.