Giải thích, ứng dụng và bài tập của Bolzano đã được giải quyết

các Định lý Bolzano xác định rằng nếu một hàm liên tục tại tất cả các điểm của một khoảng đóng [a, b] và người ta hài lòng rằng hình ảnh của "a" và "b" (dưới hàm) có các dấu ngược nhau, thì sẽ có ít nhất một điểm "C" trong khoảng mở (a, b), sao cho hàm được ước tính trong "c" sẽ bằng 0.

Định lý này được đưa ra bởi nhà triết học, nhà thần học và nhà toán học Bernard Bolzano vào năm 1850. Nhà khoa học này, sinh ra ở Cộng hòa Séc ngày nay, là một trong những nhà toán học đầu tiên trong lịch sử đưa ra một minh chứng chính thức về các tính chất của các hàm liên tục.

Chỉ số

• 1 giải thích
• 2 Trình diễn
• 3 Nó dùng để làm gì??
• 4 bài tập đã giải
  • 4.1 Bài tập 1
  • 4.2 Bài tập 2
• 5 tài liệu tham khảo

Giải thích

Định lý Bolzano còn được gọi là định lý giá trị trung gian, giúp xác định các giá trị cụ thể, đặc biệt là số không, của các hàm thực nhất định của một biến thực.

Trong một hàm đã cho, f (x) tiếp tục - nghĩa là f (a) và f (b) được kết nối bởi một đường cong-, trong đó f (a) nằm dưới trục x (là âm) và f (b) là phía trên trục x (nó là dương) hoặc ngược lại, về mặt đồ họa sẽ có một điểm cắt trên trục x sẽ đại diện cho một giá trị trung gian "c", sẽ nằm giữa "a" và "b" và giá trị của f (c) sẽ bằng 0.

Bằng cách phân tích đồ họa định lý của Bolzano, chúng ta có thể biết rằng với mọi hàm f liên tục được xác định trong một khoảng [a, b], trong đó f (a)_*f (b) nhỏ hơn 0, sẽ có ít nhất một gốc "c" của hàm đó trong khoảng (a, b).

Định lý này không thiết lập số lượng điểm tồn tại trong khoảng thời gian mở đó, chỉ nói rằng có ít nhất 1 điểm.

Trình diễn

Để chứng minh định lý của Bolzano, người ta cho rằng không mất tính tổng quát rằng f (a) < 0 y f(b) > 0; theo cách đó, có thể có nhiều giá trị giữa "a" và "b" mà f (x) = 0, nhưng bạn chỉ cần chỉ ra rằng có một giá trị.

Bắt đầu bằng cách đánh giá f tại điểm giữa (a + b) / 2. Nếu f ((a + b) / 2) = 0 thì thử nghiệm kết thúc tại đây; mặt khác, sau đó f ((a + b) / 2) là dương hoặc âm.

Một trong các nửa của khoảng [a, b] được chọn, sao cho các dấu hiệu của hàm được đánh giá ở hai đầu là khác nhau. Khoảng mới này sẽ là [a1, b1].

Bây giờ, nếu f được đánh giá tại điểm giữa của [a1, b1] không bằng 0, thì thao tác tương tự như trước được thực hiện; có nghĩa là, một nửa của khoảng này đáp ứng điều kiện của các dấu hiệu được chọn. Là khoảng thời gian mới này [a2, b2].

Nếu quá trình này được tiếp tục, thì hai thành công an và bn sẽ được thực hiện, sao cho:

an đang tăng và bn đang giảm:

a ≤ a1 ≤ a2 ... an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Nếu bạn tính độ dài của mỗi khoảng [ai, bi], bạn sẽ phải:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Do đó, giới hạn khi n có xu hướng vô cùng của (bn-an) bằng 0.

Sử dụng an đang tăng và giới hạn và bn đang giảm và giới hạn, phải có giá trị "c" sao cho:

a ≤ a1 ≤ a2 ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Giới hạn của an là "c" và giới hạn của bn cũng là "c". Do đó, với bất kỳ> 0, luôn có "n" sao cho khoảng [an, bn] được chứa trong khoảng (c - δ, c +).

Bây giờ, nó phải được chỉ ra rằng f (c) = 0.

Nếu f (c)> 0, thì vì f liên tục, tồn tại ε> 0 sao cho f dương trong suốt khoảng thời gian (c - ε, c +). Tuy nhiên, như đã nêu ở trên, tồn tại một giá trị "n" sao cho f thay đổi đăng nhập [an, bn] và, ngoài ra, [an, bn] được chứa trong (c - ε, c + ε), mâu thuẫn là gì.

Nếu f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 sao cho f âm trong suốt khoảng (c - ε, c + ε); nhưng tồn tại một giá trị "n" sao cho f thay đổi đăng nhập [an, bn]. Hóa ra [an, bn] được chứa trong (c - ε, c + ε), đây cũng là một mâu thuẫn.

Do đó, f (c) = 0 và đây là những gì chúng tôi muốn chứng minh.

Nó dùng để làm gì??

Từ cách giải thích đồ họa của nó, định lý của Bolzano được sử dụng để tìm các gốc hoặc số 0 trong một hàm liên tục, thông qua phép chia (xấp xỉ), là một phương pháp tìm kiếm gia tăng luôn chia các khoảng thành 2.

Sau đó lấy một khoảng [a, c] hoặc [c, b] trong đó xảy ra thay đổi dấu hiệu và lặp lại quy trình cho đến khi khoảng nhỏ hơn và nhỏ hơn, để bạn có thể tiếp cận giá trị bạn muốn; đó là giá trị mà hàm tạo ra 0.

Tóm lại, để áp dụng định lý của Bolzano và do đó tìm ra các gốc, phân định các số không của hàm hoặc đưa ra lời giải cho một phương trình, các bước sau đây được thực hiện:

- Nó được xác minh nếu f là hàm liên tục trong khoảng [a, b].

- Nếu khoảng thời gian không được đưa ra, nên tìm thấy một trong đó chức năng là liên tục.

- Nó được xác minh nếu các cực trị của khoảng cho các dấu hiệu ngược lại khi được đánh giá trong f.

- Nếu không có được các dấu hiệu ngược nhau, khoảng thời gian nên được chia thành hai khoảng thời gian sử dụng điểm giữa.

- Đánh giá hàm tại điểm giữa và xác minh rằng giả thuyết Bolzano được đáp ứng, trong đó f (a) _* f (b) < 0.

- Tùy thuộc vào dấu (dương hoặc âm) của giá trị được tìm thấy, quá trình được lặp lại với một giá trị con mới cho đến khi giả thuyết được đề cập được hoàn thành.

Bài tập đã giải quyết

Bài tập 1

Xác định xem hàm f (x) = x² - 2, có ít nhất một giải pháp thực sự trong khoảng [1,2].

Giải pháp

Chúng ta có hàm f (x) = x² - 2. Vì nó là đa thức, có nghĩa là nó liên tục trong bất kỳ khoảng thời gian nào.

Bạn được yêu cầu xác định xem bạn có giải pháp thực sự trong khoảng [1, 2] hay không, vì vậy bây giờ bạn chỉ cần thay thế các đầu của khoảng trong hàm để biết dấu của những điều này và biết liệu chúng có đáp ứng điều kiện khác nhau không:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (âm)

f (2) = 2² - 2 = 2 (tích cực)

Do đó, dấu của f (1) dấu f (2).

Điều này đảm bảo rằng có ít nhất một điểm "c" thuộc về khoảng [1,2], trong đó f (c) = 0.

Trong trường hợp này, giá trị của "c" có thể được tính toán dễ dàng như sau:

x² - 2 = 0

x = ± 2.

Do đó, √2 1,4 thuộc khoảng [1,2] và thỏa mãn rằng f (2) = 0.

Bài tập 2

Chứng minh rằng phương trình x⁵ + x + 1 = 0 có ít nhất một giải pháp thực sự.

Giải pháp

Lưu ý đầu tiên rằng f (x) = x⁵ + x + 1 là hàm đa thức, có nghĩa là nó liên tục trong tất cả các số thực.

Trong trường hợp này, không có khoảng nào được đưa ra, do đó, các giá trị nên được chọn theo trực giác, tốt nhất là gần bằng 0, để đánh giá hàm và tìm các thay đổi dấu hiệu:

Nếu bạn sử dụng khoảng [0, 1], bạn phải:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Vì không có thay đổi dấu hiệu, quá trình được lặp lại với một khoảng thời gian khác.

Nếu bạn sử dụng khoảng [-1, 0], bạn phải:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Trong khoảng này có sự thay đổi dấu: dấu của f (-1) dấu của f (0), có nghĩa là hàm f (x) = x⁵ + x + 1 có ít nhất một gốc thực "c" trong khoảng [-1, 0], sao cho f (c) = 0. Nói cách khác, đúng là x⁵ + x + 1 = 0 có một giải pháp thực sự trong khoảng [-1,0].

Tài liệu tham khảo

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Hướng dẫn toán học cho kỹ sư và sinh viên ... Biên tập MIR.
2. George, A. (1994). Toán học và Tâm trí. Nhà xuất bản Đại học Oxford.
3. Ilín V, P. E. (1991). Phân tích toán học Trong ba tập ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Giáo viên giáo dục trung học. Tập II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Các thuộc tính cơ bản của phân tích trong R. Editores, ngày 20 tháng 12.
6. Piskunov, N. (1980). Phép tính vi phân và tích phân ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Toán học để phân tích kinh tế. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Đối xứng liên tục: Từ Euclid đến Klein. Hiệp hội toán học Mỹ.