Định lý của Ch Quashov Những gì nó bao gồm, các ứng dụng và ví dụ



các Định lý của Ch Quashov (hoặc bất bình đẳng của Ch Quashov) là một trong những kết quả cổ điển quan trọng nhất của lý thuyết xác suất. Nó cho phép ước tính xác suất của một sự kiện được mô tả theo biến ngẫu nhiên X, bằng cách cung cấp cho chúng tôi một thứ nguyên không phụ thuộc vào phân phối của biến ngẫu nhiên mà phụ thuộc vào phương sai của X.

Định lý này được đặt theo tên của nhà toán học người Nga Pafnuty Ch Quashov (cũng được viết là Ch Quachev hoặc Tchithercheff), mặc dù không phải là người đầu tiên đưa ra định lý này, là người đầu tiên đưa ra một minh chứng vào năm 1867.

Bất đẳng thức này, hoặc bất đẳng thức mà theo đặc điểm của chúng được gọi là bất đẳng thức Ch Quashov, được sử dụng chủ yếu để xác định gần đúng xác suất bằng phương pháp tính kích thước.

Chỉ số

  • 1 Nó bao gồm những gì??
  • 2 ứng dụng và ví dụ
    • 2.1 Xác suất giới hạn
    • 2.2 Trình diễn các định lý giới hạn
    • 2.3 Cỡ mẫu
  • 3 loại bất đẳng thức Ch Quashov
  • 4 tài liệu tham khảo

Nó bao gồm những gì??

Trong nghiên cứu về lý thuyết xác suất, nếu chúng ta biết hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X, chúng ta có thể tính giá trị kỳ vọng của nó - hoặc kỳ vọng toán học E (X) - và phương sai Var (X), miễn là số tiền nói tồn tại. Tuy nhiên, đối ứng không nhất thiết là đúng.

Nghĩa là, biết E (X) và Var (X) không nhất thiết có thể có được hàm phân phối của X, vì vậy các đại lượng như P (| X |> k) đối với một số k> 0 rất khó thu được. Nhưng nhờ sự bất bình đẳng của Ch Quashov, có thể ước tính xác suất của biến ngẫu nhiên.

Định lý của Ch Quashov cho chúng ta biết rằng nếu chúng ta có một biến ngẫu nhiên X trên một không gian mẫu S với hàm xác suất p và nếu k> 0, thì:

Ứng dụng và ví dụ

Trong số nhiều ứng dụng mà định lý của Ch Quashov sở hữu, có thể đề cập đến những điều sau đây:

Giới hạn xác suất

Đây là ứng dụng phổ biến nhất và được sử dụng để đưa ra giới hạn trên cho P (| X-E (X) | k) trong đó k> 0, chỉ với phương sai và kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, mà không biết hàm xác suất.

Ví dụ 1

Giả sử rằng số lượng sản phẩm được sản xuất trong một công ty trong một tuần là một biến ngẫu nhiên với trung bình là 50.

Nếu chúng ta biết rằng phương sai của một tuần sản xuất bằng 25, thì chúng ta có thể nói gì về xác suất trong tuần này sản xuất sẽ khác hơn 10 so với trung bình?

Giải pháp

Áp dụng sự bất bình đẳng của Ch Quashov, chúng ta phải:

Từ đó, chúng ta có thể có được rằng xác suất trong tuần sản xuất số lượng bài viết vượt quá 10 đến trung bình nhiều nhất là 1/4.

Trình diễn các định lý giới hạn

Sự bất bình đẳng của Ch Quashov đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh các định lý giới hạn quan trọng nhất. Ví dụ, chúng tôi có những điều sau đây:

Luật yếu của số lượng lớn

Định luật này thiết lập một chuỗi X1, X2, ..., Xn, ... của các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối trung bình E (Xi) = và phương sai Var (X) =2, và một mẫu trung bình đã biết của:

Sau đó, với k> 0, bạn phải:

Hoặc, tương đương:

Trình diễn

Trước tiên hãy chú ý những điều sau:

Vì X1, X2, ..., Xn là độc lập, nên nó tuân theo:

Do đó, có thể khẳng định như sau:

Sau đó, bằng cách sử dụng định lý của Ch Quashov, chúng ta phải:

Cuối cùng, định lý kết quả từ thực tế là giới hạn bên phải bằng 0 khi n có xu hướng vô cùng.

Cần lưu ý rằng thử nghiệm này chỉ được thực hiện cho trường hợp phương sai của Xi tồn tại; đó là, nó không phân kỳ. Do đó, chúng tôi quan sát rằng định lý luôn luôn đúng nếu E (Xi) tồn tại.

Định lý giới hạn của Ch Quashov

Nếu X1, X2, ..., Xn, ... là một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho có một số C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Trình diễn

Khi sự kế thừa của các phương sai được giới hạn đồng đều, chúng ta có Var (Sn) C / n, cho tất cả n tự nhiên. Nhưng chúng tôi biết rằng:

Bằng cách làm cho n có xu hướng vô cùng, kết quả sau đây:

Vì xác suất không thể vượt quá giá trị 1, nên thu được kết quả mong muốn. Như một hệ quả của định lý này, chúng ta có thể đề cập đến trường hợp cụ thể của Bernoulli.

Nếu một thử nghiệm được lặp lại n lần độc lập với hai kết quả có thể xảy ra (thất bại và thành công), thì p là xác suất thành công trong mỗi thử nghiệm và X là biến ngẫu nhiên đại diện cho số lần thành công đạt được, với mỗi k> 0 bạn phải:

Cỡ mẫu

Xét về phương sai, bất đẳng thức của Ch Quashov cho phép chúng ta tìm kích thước mẫu n đủ để đảm bảo rằng xác suất | Sn-μ |> = k xảy ra là nhỏ như mong muốn, cho phép chúng ta có xấp xỉ đến mức trung bình.

Chính xác, hãy để X1, X2, ... Xn là một mẫu các biến ngẫu nhiên độc lập có kích thước n và giả sử rằng E (Xi) = và phương sai của nó2. Sau đó, do sự bất bình đẳng của Ch Quashov, chúng ta phải:

Ví dụ

Giả sử X1, X2, ... Xn là một mẫu các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Bernoulli, để chúng lấy giá trị 1 với xác suất p = 0,5.

Kích thước của mẫu phải là bao nhiêu để có thể đảm bảo rằng xác suất chênh lệch giữa trung bình số học Sn và giá trị mong đợi của nó (vượt quá 0,1) nhỏ hơn hoặc bằng 0. 01?

Giải pháp

Ta có E (X) = μ = p = 0,5 và Var (X) =2= p (1-p) = 0,25. Đối với bất đẳng thức của Ch Quashov, với mọi k> 0, chúng ta phải:

Bây giờ, lấy k = 0,1 và δ = 0,01, chúng ta phải:

Theo cách này, người ta kết luận rằng cần có ít nhất 2500 mẫu để đảm bảo rằng xác suất của sự kiện | Sn - 0,5 |> = 0,1 nhỏ hơn 0,01.

Bất bình đẳng loại Ch Quashov

Có nhiều bất bình đẳng khác nhau liên quan đến sự bất bình đẳng của Ch Quashov. Một trong những điều được biết đến nhiều nhất là bất đẳng thức Markov:

Trong biểu thức này X là biến ngẫu nhiên không âm với k, r> 0.

Bất đẳng thức Markov có thể có các hình thức khác nhau. Ví dụ: Đặt Y là biến ngẫu nhiên không âm (vì vậy P (Y> = 0) = 1) và giả sử rằng E (Y) = tồn tại. Giả sử cũng có (E (Y))r= μr tồn tại với một số nguyên r> 1. Sau đó:

Một bất đẳng thức khác là của Gauss, cho chúng ta biết rằng đã đưa ra một biến ngẫu nhiên X không đồng nhất với chế độ ở 0, sau đó cho k> 0,

Tài liệu tham khảo

  1. Khai Lai Chung Lý thuyết khả năng cơ bản với các quy trình ngẫu nhiên. Công ty Springer-Verlag New York
  2. Kenneth.H. Rosen. Toán học rời rạc và các ứng dụng của nó. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Xác suất và ứng dụng thống kê. S.A. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 toán học rời rạc giải quyết các vấn đề. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Lý thuyết và vấn đề của xác suất. McGRAW-HILL.