Các công thức định lý, trình diễn, ứng dụng và bài tập của Euclid

các Định lý Euclid thể hiện các tính chất của một tam giác vuông bằng cách vẽ một đường thẳng chia nó thành hai tam giác vuông mới tương tự nhau và lần lượt, tương tự như tam giác ban đầu; sau đó, có một mối quan hệ của tỷ lệ.

Euclid là một trong những nhà toán học và địa lý vĩ đại nhất của thời đại cổ đại, người đã thực hiện một số minh chứng cho các định lý quan trọng. Một trong những cái chính là cái mang tên ông, đã có một ứng dụng rộng rãi.

Điều này đã được như vậy bởi vì, thông qua định lý này, nó giải thích một cách đơn giản các mối quan hệ hình học tồn tại trong tam giác vuông, trong đó các chân của điều này có liên quan đến các hình chiếu của chúng trong cạnh huyền.

Chỉ số

1 công thức và trình diễn
- 1.1 Định lý về chiều cao
- 1.2 Định lý về chân
2 Mối quan hệ giữa các định lý của Euclid
3 bài tập đã giải
- 3.1 Ví dụ 1
- 3.2 Ví dụ 2
4 tài liệu tham khảo

Công thức và trình diễn

Định lý của Euclid đề xuất rằng trong mọi tam giác vuông, khi một đường thẳng được vẽ - trong đó biểu thị chiều cao tương ứng với đỉnh của góc vuông đối với cạnh huyền - hai tam giác vuông được tạo từ gốc.

Các tam giác này sẽ giống nhau và cũng tương tự như tam giác ban đầu, có nghĩa là các cạnh tương tự của chúng tỷ lệ với nhau:

Các góc của ba hình tam giác đều đồng dạng; điều đó có nghĩa là, khi được quay tới 180 độ trên đỉnh của nó, một góc trùng với góc kia. Điều này ngụ ý rằng mọi người sẽ bình đẳng.

Bằng cách này, bạn cũng có thể xác minh sự giống nhau tồn tại giữa ba hình tam giác, bằng sự bằng nhau của các góc của chúng. Từ sự giống nhau của các tam giác, Euclid thiết lập tỷ lệ của các số này từ hai định lý:

- Định lý chiều cao.

- Định lý của chân.

Định lý này có một ứng dụng rộng rãi. Trong Cổ vật, nó được sử dụng để tính chiều cao hoặc khoảng cách, thể hiện một bước tiến lớn cho lượng giác.

Nó hiện đang được áp dụng trong một số lĩnh vực dựa trên toán học, như kỹ thuật, vật lý, hóa học và thiên văn học, trong số nhiều lĩnh vực khác.

Định lý chiều cao

Định lý này nói rằng trong bất kỳ tam giác vuông nào, chiều cao được vẽ từ góc vuông đối với cạnh huyền là trung bình tỷ lệ hình học (bình phương chiều cao) giữa các hình chiếu của chân xác định cạnh huyền.

Nghĩa là, bình phương chiều cao sẽ bằng với phép nhân của các chân được chiếu tạo thành cạnh huyền:

h_c² = m _*n

Trình diễn

Cho một tam giác ABC, là một hình chữ nhật ở đỉnh C, khi vẽ đồ thị chiều cao hai tam giác vuông tương tự, ADC và BCD, được tạo ra; do đó, các mặt tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau:

Theo cách mà chiều cao h_c tương ứng với CD phân đoạn, tương ứng với cạnh huyền AB = c, vì vậy chúng ta phải:

Đổi lại, điều này tương ứng với:

Dọn dẹp cạnh huyền (h_c), để nhân hai thành viên của đẳng thức, bạn phải:

h_{c *} h_{c =}m _*n

h_c² = m _*n

Do đó, giá trị của cạnh huyền được đưa ra bởi:

Định lý của chân

Định lý này nói rằng, trong bất kỳ tam giác vuông nào, số đo của mỗi chân sẽ là trung bình tỷ lệ hình học (bình phương của mỗi chân) giữa số đo của cạnh huyền (hoàn thành) và hình chiếu của mỗi chân trên nó:

b² = c _* m

một² = c_* n

Trình diễn

Cho tam giác ABC, là một hình chữ nhật ở đỉnh C, sao cho cạnh huyền của nó là c, khi vẽ đồ thị chiều cao (h) các hình chiếu của hai chân a và b, lần lượt là các đoạn m và n, được xác định. thôi miên.

Do đó, chúng ta có chiều cao được vẽ trên tam giác vuông ABC tạo ra hai tam giác vuông tương tự, ADC và BCD, sao cho các cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau, như sau:

DB = n, là hình chiếu của chân CB trên cạnh huyền.

AD = m, đó là hình chiếu của cathetus AC trên cạnh huyền.

Sau đó, cạnh huyền c được xác định bằng tổng số chân của các hình chiếu của nó:

c = m + n

Do sự giống nhau của các tam giác ADC và BCD, chúng ta phải:

Trên đây là giống như:

Bằng cách xóa chân "a" để nhân hai thành viên của đẳng thức, người ta phải:

một _*a = c_*n

một² = c_*n

Do đó, giá trị của chân "a" được cho bởi:

Tương tự, bằng sự giống nhau của các tam giác ACB và ADC, chúng ta phải:

Trên đây là bằng:

Bằng cách xóa chân "b" để nhân hai thành viên của đẳng thức, người ta phải:

b _*b = c_*m

b² = c_*m

Do đó, giá trị của chân "b" được cho bởi:

Mối quan hệ giữa các định lý của Euclid

Các định lý có liên quan đến chiều cao và chân có liên quan với nhau vì số đo của cả hai được thực hiện liên quan đến cạnh huyền của tam giác vuông.

Thông qua mối quan hệ của các định lý Euclid, giá trị của chiều cao cũng có thể được tìm thấy; điều đó có thể bằng cách xóa các giá trị của m và n khỏi định lý chân và chúng được thay thế trong định lý chiều cao. Theo cách này, chiều cao bằng với số nhân của chân, chia cho cạnh huyền:

b² = c_*m

m = b² C

một² = c_*n

n = a² C

Trong định lý chiều cao, m và n được thay thế:

h_c² = m _*n

h_c² = (b² ÷ c) _* (một² ÷ c)

h_c = (b²_* một²)

Bài tập đã giải quyết

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC, hình chữ nhật trong A, xác định số đo của AC và AD, nếu AB = 30 cm và BD = 18 cm

Giải pháp

Trong trường hợp này, chúng ta có các số đo của một trong hai chân được chiếu (BD) và một trong các chân của tam giác ban đầu (AB). Bằng cách đó bạn có thể áp dụng định lý chân để tìm giá trị của chân BC.

AB² = BD _*BC

(30)² = 18 _*BC

900 = 18 _*BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Giá trị của cathetus CD có thể được tìm thấy khi biết rằng BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Bây giờ có thể xác định giá trị của cathetus AC, áp dụng lại định lý chân:

AC² = CD _*BD

AC²= 32 _* 50

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Để xác định giá trị của chiều cao (AD), định lý chiều cao được áp dụng, vì các giá trị của các chân được chiếu CD và BD được biết:

QUẢNG CÁO² = 32 _* 18

QUẢNG CÁO² = 576

QUẢNG CÁO = 76576

AD = 24 cm

Ví dụ 2

Xác định giá trị chiều cao (h) của tam giác MNL, hình chữ nhật bằng N, biết các số đo của các đoạn:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Giải pháp

Bạn có số đo của một trong hai chân được chiếu trên cạnh huyền (PM), cũng như các số đo của chân của tam giác ban đầu. Theo cách này, định lý chân có thể được áp dụng để tìm giá trị của chân dự kiến khác (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Như chúng ta đã biết giá trị của chân và cạnh huyền, thông qua mối quan hệ của các định lý về chiều cao và chân, giá trị của chiều cao có thể được xác định:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* một²).

h = (10²_* 5²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Tài liệu tham khảo

Braun, E. (2011). Hỗn loạn, fractals và những điều kỳ lạ. Quỹ văn hóa kinh tế.
Cabrera, V. M. (1974). Toán học hiện đại, tập 3.
Daniel Hernandez, D. P. (2014). Toán năm thứ 3 Venezuela: Santillana.
Bách khoa toàn thư Britannica, i. (1995). Bách khoa toàn thư Tây Ban Nha: Macropedia. Nhà xuất bản bách khoa toàn thư Britannica.
Euclid, R. P. (1886). Các yếu tố hình học của Euclid.
Guardeño, A. J. (2000). Di sản của toán học: từ Euclid đến Newton, những thiên tài thông qua các cuốn sách của ông. Đại học Seville.

Toán học

« Định lý của Ch Quashov Những gì nó bao gồm, các ứng dụng và ví dụ Định lý Lamy (với bài tập đã giải) »