Đặc điểm tam giác đều, tính chất, công thức và diện tích



Một tam giác đều nó là một đa giác có ba cạnh, trong đó tất cả đều bằng nhau; đó là họ có cùng một biện pháp Đối với đặc điểm đó, nó đã được đặt tên của bình đẳng (các cạnh bằng nhau).

Hình tam giác là đa giác được coi là đơn giản nhất trong hình học, bởi vì chúng được hình thành ba cạnh, ba góc và ba đỉnh. Trong trường hợp tam giác đều, bằng cách có các cạnh bằng nhau, ngụ ý rằng ba góc của nó cũng sẽ là.

Chỉ số

  • 1 Đặc điểm của hình tam giác đều
    • 1.1 Các mặt bằng nhau
    • 1.2 Linh kiện
  • 2 thuộc tính
    • 2.1 Góc nội bộ
    • 2.2 Góc bên ngoài
    • 2.3 Tổng của các bên
    • 2.4 Các mặt đồng dạng
    • 2.5 góc đồng dạng
    • 2.6 Phép chia, trung tuyến và trung gian là trùng nhau
    • 2.7 Bộ chia và chiều cao là trùng khớp
    • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter và cắt bao quy đầu trùng khớp
  • 3 Cách tính chu vi?
  • 4 Cách tính chiều cao?
  • 5 Cách tính các cạnh?
  • 6 Cách tính diện tích?
  • 7 bài tập
    • 7.1 Bài tập đầu tiên
    • 7.2 Bài tập thứ hai
    • 7.3 Bài tập thứ ba
  • 8 tài liệu tham khảo

Đặc điểm của tam giác đều

Hai bên bằng nhau

Các tam giác đều là các hình phẳng và đóng, gồm ba đoạn thẳng. Hình tam giác được phân loại theo đặc điểm của chúng, liên quan đến các cạnh và góc của chúng; các đẳng thức được phân loại bằng cách sử dụng thước đo các cạnh của nó làm tham số, vì chúng giống hệt nhau, nghĩa là chúng đồng dạng.

Tam giác đều là một trường hợp cụ thể của tam giác cân vì hai cạnh của nó đồng dạng. Đó là lý do tại sao tất cả các tam giác đều đều là các cân bằng, nhưng không phải tất cả các tam giác đều sẽ là các tam giác đều.

Theo cách này, các tam giác đều có cùng tính chất của một tam giác cân.

Các tam giác đều cũng có thể được phân loại theo biên độ của các góc bên trong của chúng là tam giác góc bằng nhau, có ba cạnh và ba góc bên trong có cùng số đo. Các góc sẽ sắc nét, nghĩa là chúng sẽ nhỏ hơn 90o.

Linh kiện

Tam giác nói chung có một số dòng và điểm tạo nên nó. Chúng được sử dụng để tính diện tích, cạnh, góc, trung tuyến, đường phân giác, vuông góc và chiều cao.

  • Trung vị: là một đường rời khỏi điểm giữa của một bên và chạm tới đỉnh đối diện. Ba trung vị đồng quy tại một điểm gọi là centroid hoặc centroid.
  • Người chia sẻ: là một tia chia góc của các đỉnh thành hai góc có kích thước bằng nhau, đó là lý do tại sao nó được gọi là trục đối xứng. Tam giác đều có ba trục đối xứng.

Trong tam giác đều, bisector được vẽ từ đỉnh của một góc tới cạnh đối diện của nó, cắt nó tại điểm giữa của nó. Những điều này đồng tình ở điểm được gọi là sự khích lệ.

  • Các mediatrix: là một đoạn vuông góc với cạnh của tam giác bắt nguồn từ giữa này. Có ba trung gian trong một hình tam giác và chúng đồng quy ở một điểm gọi là Circuncentro.
  • Chiều cao: là đường thẳng đi từ đỉnh sang cạnh đối diện và đường này cũng vuông góc với cạnh đó. Tất cả các tam giác đều có ba độ cao trùng khớp tại một điểm gọi là orthocenter.

Thuộc tính

Tính chất chính của các tam giác đều là chúng sẽ luôn là các tam giác cân, vì các cân bằng được tạo bởi hai cạnh đồng dạng và ba cạnh bằng nhau.

Theo cách đó, các tam giác đều được thừa hưởng tất cả các thuộc tính của tam giác cân:

Góc nội bộ

Tổng các góc bên trong luôn bằng 180o, và vì tất cả các góc của nó đều đồng dạng, nên mỗi góc sẽ đo 60o.

Góc ngoài

Tổng các góc bên ngoài sẽ luôn bằng 360o, do đó mỗi góc bên ngoài sẽ đo được 120o. Điều này là do các góc bên trong và bên ngoài là bổ sung, nghĩa là thêm chúng sẽ luôn bằng 180o.

Tổng của các bên

Tổng các số đo của hai bên phải luôn luôn lớn hơn số đo của bên thứ ba, nghĩa là a + b> c, trong đó a, b và c là số đo của mỗi bên.

Bên đồng thuận

Tam giác đều có ba cạnh có cùng số đo hoặc độ dài; nghĩa là chúng đồng dạng. Do đó, trong mục trước chúng ta có a = b = c.

Góc đồng dạng

Tam giác đều cũng được gọi là tam giác đều, bởi vì ba góc bên trong của chúng đồng dạng với nhau. Điều này là do tất cả các mặt của nó cũng có cùng một biện pháp.

Bisector, median và mediatrix là trùng khớp

Kẻ chia đôi cạnh của một hình tam giác thành hai phần. Trong các tam giác đều cạnh đó sẽ được chia thành hai phần chính xác bằng nhau, nghĩa là tam giác sẽ được chia thành hai tam giác vuông đồng dạng.

Do đó, bisector được vẽ từ bất kỳ góc nào của một tam giác đều cạnh trùng với trung tuyến và bisector của cạnh đối diện của góc đó.

Ví dụ:

Hình dưới đây cho thấy tam giác ABC có trung điểm D chia một cạnh của nó thành hai đoạn AD và BD.

Khi bạn vẽ một đường thẳng từ điểm D đến đỉnh đối diện, theo định nghĩa, bạn nhận được CD trung vị, tương đối với đỉnh C và cạnh AB.

Do đoạn CD chia tam giác ABC thành hai tam giác bằng CDB và CDA, điều đó có nghĩa là chúng ta sẽ có trường hợp đồng dạng: cạnh, góc, cạnh và do đó CD cũng sẽ là phân giác của BCD.

Khi vẽ đoạn CD, chia góc đỉnh thành hai góc bằng nhau là 30o, góc của đỉnh A tiếp tục đo 60o và CD thẳng tạo thành một góc 90o đối với điểm giữa D.

CD phân đoạn tạo thành các góc có cùng số đo cho các tam giác ADC và BDC, nghĩa là chúng bổ sung theo cách mà phép đo của mỗi số sẽ là:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o

2 * Trung bình (ADC) = 180o

Trung bình (ADC) = 180o 2

Trung bình (ADC) = 90o.

Và do đó, bạn có rằng phân khúc CD cũng là phân chia của bên AB.

Các bisector và chiều cao là trùng hợp

Khi bạn vẽ đường phân giác từ đỉnh của một góc tới trung điểm của cạnh đối diện, nó sẽ chia tam giác đều thành hai tam giác đồng dạng.

Theo cách mà một góc 90 được hình thànho (thẳng). Điều này chỉ ra rằng đoạn đường này hoàn toàn vuông góc với cạnh đó và theo định nghĩa, đường thẳng đó sẽ là chiều cao.

Theo cách này, đường phân giác của bất kỳ góc nào của tam giác đều trùng với chiều cao tương đối ở phía đối diện của góc đó.

Orthocenter, barycenter, incenter và cắt bao quy đầu trùng khớp

Khi chiều cao, trung vị, bisector và bisector được biểu diễn cùng một lúc bởi cùng một phân đoạn, trong một tam giác đều, các điểm gặp gỡ của các phân đoạn này - the orthocenter, barycenter, incenter và cyclcenter-, sẽ ở cùng một điểm:

Cách tính chu vi?

Chu vi của một đa giác được tính bằng tổng của các cạnh. Vì trong trường hợp này, tam giác đều có tất cả các cạnh của nó có cùng số đo, chu vi của nó được tính theo công thức sau:

P = 3 * bên.

Cách tính chiều cao?

Vì chiều cao là đường thẳng vuông góc với đáy, nên nó chia thành hai phần bằng nhau bằng cách kéo dài tới đỉnh đối diện. Do đó, hai tam giác vuông bằng nhau được hình thành.

Chiều cao (h) đại diện cho phía đối diện (a), một nửa của AC bên cạnh (b) và bên BC đại diện cho cạnh huyền (c).

Sử dụng định lý Pythagore, bạn có thể xác định giá trị của chiều cao:

một2 + b2= c2

Ở đâu:

một2 = chiều cao (h).

b2 = bên b / 2.

c2 = bên a.

Thay thế các giá trị này trong định lý Pythagore và xóa chiều cao chúng ta có:

h2 + ( l / 2)2 = = tôi2

h2 +  tôi2/ 4 = tôi2

h2 = = tôi2  -  tôi2/ 4

h2 = (4*tôi2 -  tôi2) / 4

h2 = =  3*tôi2/4

√h2 = √ (3*tôi2/4)

Nếu đã biết góc tạo bởi các cạnh đồng dạng, chiều cao (được biểu thị bằng một chân) có thể được tính bằng cách áp dụng các tỷ lệ lượng giác.

Các chân được gọi là đối diện hoặc liền kề tùy thuộc vào góc được lấy làm tham chiếu.

Ví dụ, trong hình trước, cathetus h sẽ đối diện với góc C, nhưng tiếp giáp với góc B:

Do đó, chiều cao có thể được tính bằng:

Cách tính các mặt?

Có những trường hợp không biết các số đo của các cạnh của tam giác, nhưng chiều cao của chúng và các góc được tạo thành trong các đỉnh.

Để xác định diện tích trong các trường hợp này, cần áp dụng các tỷ lệ lượng giác.

Biết góc của một trong các đỉnh của nó, các chân được xác định và tỷ lệ lượng giác tương ứng được sử dụng:

Do đó, chân AB, sẽ đối diện với góc C, nhưng tiếp giáp với góc A. Tùy thuộc vào cạnh hoặc chân tương ứng với chiều cao, phía bên kia bị xóa để lấy giá trị này, biết rằng trong một tam giác đều ba cạnh các bên sẽ luôn có cùng kích thước.

Cách tính diện tích?

Diện tích của các hình tam giác luôn được tính theo cùng một công thức, nhân số cơ sở theo chiều cao và chia cho hai:

Diện tích = (b * h) ÷ 2

Biết rằng chiều cao được cho bởi công thức:

Bài tập

Bài tập đầu tiên

Các cạnh của một tam giác đều cạnh ABC đo 20 cm mỗi cạnh. Tính chiều cao và diện tích của đa giác đó.

Giải pháp

Để xác định diện tích của tam giác đều đó cần tính chiều cao, biết rằng khi vẽ nó, nó chia tam giác thành hai tam giác vuông bằng nhau.

Theo cách đó, định lý Pythagore có thể được sử dụng để tìm ra nó:

một2 + b2= c2

Ở đâu:

a = 20/2 = 10 cm.

b = chiều cao.

c = 20 cm.

Dữ liệu trong định lý được thay thế:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Nghĩa là chiều cao của tam giác bằng 17,32cm. Bây giờ có thể tính diện tích của tam giác đã cho bằng cách thay thế trong công thức:

Diện tích = (b * h) ÷ 2

Diện tích = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2

Diện tích = 346,40 cm2 2

Diện tích = 173,20 cm2.

Một cách đơn giản khác để giải bài tập là thay thế dữ liệu theo công thức trực tiếp của khu vực, trong đó giá trị của chiều cao cũng được ngầm định:

Bài tập thứ hai

Ở một vùng đất có hình tam giác đều, hoa sẽ được trồng. Nếu chu vi của mảnh đất đó bằng 450 m, hãy tính số mét vuông bị chiếm bởi những bông hoa.

Giải pháp

Biết rằng chu vi của một tam giác tương ứng với tổng ba cạnh của nó và vì địa hình có hình dạng của một tam giác đều, ba cạnh của tam giác này sẽ có cùng số đo hoặc độ dài:

P = bên + bên + bên = 3 * tôi

3 * tôi = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Bây giờ chỉ cần tính chiều cao của tam giác đó.

Chiều cao chia tam giác thành hai tam giác vuông đồng dạng, trong đó một chân đại diện cho chiều cao và nửa kia của chân đế. Theo định lý Pythagore, chiều cao có thể được xác định:

một2 + b2= c2

Ở đâu:

một = 150 m 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = chiều cao

Dữ liệu trong định lý được thay thế:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5.625 m + b2 = 22.500 m

b2 = 22.500 m - 5.625 m

b2 = 16.875 m

b = √16.875 m

b = 129,90 m.

Vì vậy, khu vực sẽ chiếm những bông hoa sẽ là:

Diện tích = b * h 2

Diện tích = (150 m * 129,9 m) 2

Diện tích = (19,485 m2) ÷ 2

Diện tích = 9.742,5 m2

Bài tập thứ ba

Tam giác đều ABC được chia cho một đoạn thẳng đi từ đỉnh C của nó đến trung điểm D, nằm ở phía đối diện (AB). Đoạn này dài 62 mét. Tính diện tích và chu vi của tam giác đều đó.

Giải pháp

Biết rằng tam giác đều được chia cho một đoạn thẳng tương ứng với chiều cao, do đó tạo thành hai tam giác vuông đồng dạng, lần lượt cũng chia góc của đỉnh C thành hai góc có cùng số đo, 30o mỗi người.

Chiều cao tạo thành một góc 90o đối với đoạn AB và góc của đỉnh A sau đó sẽ đo 60o.

Sau đó sử dụng làm tham chiếu góc 30o, CD chiều cao được thiết lập như một chân liền kề với góc và BC là cạnh huyền.

Từ những dữ liệu này, giá trị của một trong các cạnh của tam giác có thể được xác định, sử dụng các tỷ lệ lượng giác:

Như trong tam giác đều, tất cả các cạnh đều có cùng số đo hoặc độ dài, điều đó có nghĩa là mỗi cạnh của tam giác đều ABC bằng 71,6 mét. Biết rằng, có thể xác định khu vực của bạn:

Diện tích = b * h 2

Diện tích = (71,6 m * 62 m) 2

Diện tích = 4.438,6 m2 2

Diện tích = 2.219,3 m2

Chu vi được tính bằng tổng ba cạnh của nó:

P = bên + bên + bên = 3 * tôi

P = 3*tôi

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Tài liệu tham khảo

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Vẽ kỹ thuật: hoạt động vở.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Đại số và lượng giác với hình học phân tích. Giáo dục Pearson.
  3. Hói, A. (1941). Đại số Havana: Văn hóa.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Hình học Euclide phẳng. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Hình học A Phương pháp chuyển đổi. Hoa Kỳ: Anh em nhà Laidlaw.
  6. Euclid, R. P. (1886). Các yếu tố hình học của Euclid.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Hình học và lượng giác.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Hình học tích hợp Viện công nghệ đô thị.
  9. Sullivan, J. (2006). Đại số và lượng giác Giáo dục Pearson.