Tính năng tam giác tỷ lệ, công thức và diện tích, tính toán



Một tam giác Đó là một đa giác ba cạnh, nơi mọi người đều có số đo hoặc độ dài khác nhau; Vì lý do đó, nó được đặt tên là scalene, trong tiếng Latin có nghĩa là leo núi.

Hình tam giác là đa giác được coi là đơn giản nhất trong hình học, bởi vì chúng được hình thành ba cạnh, ba góc và ba đỉnh. Trong trường hợp của tam giác scalene, vì nó có tất cả các cạnh khác nhau, nó ngụ ý rằng ba góc của nó cũng sẽ khác nhau..

Chỉ số

  • 1 Đặc điểm của tam giác scalene
    • 1.1 Thành phần
  • 2 thuộc tính
    • 2.1 Góc bên trong
    • 2.2 Tổng của các bên
    • 2.3 Các mặt không nhất quán
    • 2.4 Góc không phù hợp
    • 2.5 Chiều cao, trung vị, bisector và bisector không trùng nhau
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter và cắt bao quy đầu không trùng nhau
    • 2.7 Độ cao tương đối
  • 3 Cách tính chu vi?
  • 4 Cách tính diện tích?
  • 5 Cách tính chiều cao?
  • 6 Cách tính các cạnh?
  • 7 bài tập
    • 7.1 Bài tập đầu tiên
    • 7.2 Bài tập thứ hai
    • 7.3 Bài tập thứ ba
  • 8 tài liệu tham khảo

Đặc điểm của tam giác scalene

Tam giác tỷ lệ là các đa giác đơn giản vì không có cạnh hoặc góc nào của chúng có cùng số đo, không giống như các tam giác cân và tam giác đều.

Bởi vì tất cả các cạnh và góc của nó có các số đo khác nhau, các hình tam giác này được coi là đa giác lồi không đều.

Theo biên độ của các góc bên trong, các tam giác scalene được phân loại là:

  • Tỷ lệ tam giác hình chữ nhật: tất cả các mặt của nó là khác nhau. Một trong những góc của nó là thẳng (90o) và những người khác là sắc nét và với các biện pháp khác nhau.
  • Tỷ lệ tam giác góc tù: tất cả các mặt của nó đều khác nhau và một trong các góc của nó bị che khuất (> 90o).
  • Tỷ lệ tam giác góc acut: tất cả các mặt của nó là khác nhau. Tất cả các góc của nó là sắc nét (< 90o), với các biện pháp khác nhau.

Một đặc điểm khác của tam giác scalene là do sự không phù hợp của các cạnh và góc của chúng, chúng không có trục đối xứng.

Linh kiện

Trung vị: là một đường rời khỏi điểm giữa của một bên và chạm tới đỉnh đối diện. Ba trung vị đồng quy tại một điểm gọi là centroid hoặc centroid.

Người chia sẻ: là một tia chia mỗi góc thành hai góc có kích thước bằng nhau. Các đường phân giác của một tam giác đồng quy tại điểm được gọi là sự khuyến khích.

Các mediatrix: là một đoạn vuông góc với cạnh của tam giác, bắt nguồn từ giữa này. Có ba bác sĩ trong một hình tam giác và đồng tình ở một điểm gọi là cắt bao quy đầu.

Chiều cao: là đường thẳng đi từ đỉnh sang cạnh đối diện và đường này cũng vuông góc với cạnh đó. Tất cả các tam giác đều có ba độ cao trùng khớp tại một điểm gọi là orthocenter.

Thuộc tính

Tam giác tỷ lệ được xác định hoặc xác định bởi vì chúng có một số tính chất đại diện cho chúng, bắt nguồn từ các định lý được đề xuất bởi các nhà toán học vĩ đại. Họ là:

Góc bên trong

Tổng các góc bên trong luôn bằng 180o.

Tổng của các bên

Tổng các số đo của hai bên phải luôn luôn lớn hơn số đo của bên thứ ba, a + b> c.

Các mặt không nhất quán

Tất cả các cạnh của tam giác scalene có các số đo hoặc độ dài khác nhau; đó là, họ là không thường xuyên.

Các góc không nhất quán

Vì tất cả các cạnh của tam giác scalene là khác nhau, các góc của chúng cũng sẽ khác nhau. Tuy nhiên, tổng các góc bên trong sẽ luôn bằng 180º và trong một số trường hợp, một trong các góc của nó có thể bị lệch hoặc thẳng, trong khi ở các góc khác, tất cả các góc của nó sẽ là cấp tính.

Chiều cao, trung vị, bisector và bisector không trùng nhau

Giống như bất kỳ tam giác nào, scalene có một số đoạn thẳng tạo thành nó, chẳng hạn như: chiều cao, trung vị, bisector và bisector.

Do đặc thù của các cạnh của nó, trong loại hình tam giác này, không có đường thẳng nào trong số này sẽ trùng nhau trong một.

Orthocenter, barycenter, incenter và cắt bao quy đầu không phải là trùng hợp

Khi chiều cao, trung vị, bisector và bisector được biểu thị bằng các đoạn thẳng khác nhau, trong một tam giác scalene, các điểm gặp gỡ - orthocenter, centrocenter, incenter và cyclcenter - sẽ được tìm thấy ở các điểm khác nhau (chúng không trùng nhau).

Tùy thuộc vào việc hình tam giác là cấp tính, hình chữ nhật, hay scalene, orthocenter có các vị trí khác nhau:

a. Nếu tam giác là cấp tính, orthocenter sẽ ở bên trong tam giác.

b. Nếu tam giác là một hình chữ nhật, orthocenter sẽ trùng với đỉnh của cạnh thẳng.

c. Nếu tam giác bị che khuất, orthocenter sẽ ở bên ngoài tam giác.

Chiều cao tương đối

Độ cao tương đối so với các bên.

Trong trường hợp tam giác scalene, các độ cao này sẽ có các số đo khác nhau. Mỗi tam giác có ba độ cao tương đối và để tính toán chúng, công thức của Heron được sử dụng.

Cách tính chu vi?

Chu vi của một đa giác được tính bằng tổng của các cạnh.

Như trong trường hợp này, tam giác scalene có tất cả các cạnh của nó với các số đo khác nhau, chu vi của nó sẽ là:

P = bên a + bên b + bên c.

Cách tính diện tích?

Diện tích của các hình tam giác luôn được tính theo cùng một công thức, nhân số cơ sở theo chiều cao và chia cho hai:

Diện tích = (cơ sở * h) ÷ 2

Trong một số trường hợp không biết chiều cao của tam giác scalene, nhưng có một công thức được nhà toán học Heron đề xuất, để tính diện tích biết phép đo ba cạnh của một tam giác.

Ở đâu:

  • a, b và c, biểu diễn các cạnh của tam giác.
  • sp, tương ứng với nửa cung của tam giác, nghĩa là một nửa chu vi:

sp = (a + b + c) 2

Trong trường hợp bạn chỉ có số đo hai cạnh của tam giác và góc được tạo giữa chúng, diện tích có thể được tính bằng cách áp dụng các tỷ lệ lượng giác. Vì vậy, bạn phải:

Diện tích = (bên * h) ÷ 2

Trong đó chiều cao (h) là tích của một cạnh bởi sin của góc đối diện. Ví dụ: đối với mỗi bên, khu vực sẽ là:

  • Diện tích = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Diện tích = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Diện tích = (a * b * sen C) ÷ 2

Cách tính chiều cao?

Do tất cả các cạnh của tam giác scalene đều khác nhau, nên không thể tính chiều cao bằng định lý Pythagore.

Từ công thức của Heron, dựa trên các phép đo ba cạnh của một tam giác, diện tích có thể được tính.

Chiều cao có thể được xóa theo công thức chung của khu vực:

Bên được thay thế bằng phép đo của bên a, b hoặc c.

Một cách khác để tính chiều cao khi biết giá trị của một trong các góc là áp dụng các tỷ lệ lượng giác, trong đó chiều cao sẽ đại diện cho một chân của tam giác.

Ví dụ, khi biết góc đối diện với chiều cao, nó sẽ được xác định bởi sin:

Cách tính các mặt?

Khi bạn có số đo hai cạnh và góc đối diện với các cạnh này, có thể xác định cạnh thứ ba bằng cách áp dụng định lý cosin.

Ví dụ: trong một tam giác AB, chiều cao so với đoạn AC được vẽ. Bằng cách đó, tam giác được chia thành hai tam giác vuông.

Để tính cạnh c (đoạn AB), định lý Pythagore được áp dụng cho mỗi tam giác:

  • Đối với hình tam giác màu xanh, bạn phải:

c2 = h2 + m2

Vì m = b - n, nó được thay thế:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2 tỷ + n2.

  • Đối với tam giác màu hồng, bạn phải:

h2 = a2 - n2

Nó được thay thế trong phương trình trước:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2 tỷ + n2

c2 = a2 + b2 - 2 tỷ.

Biết rằng n = a * cos C, được thay thế trong phương trình trước và giá trị của bên c thu được:

c2 = a2 + b2 - 2b* một * cos C.

Theo định luật Cosines, các bên có thể được tính như sau:

  • một2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* một * cos C.

Có những trường hợp không biết các số đo của các cạnh của tam giác, nhưng chiều cao của chúng và các góc được hình thành trong các đỉnh. Để xác định diện tích trong các trường hợp này, cần áp dụng các tỷ lệ lượng giác.

Biết góc của một trong các đỉnh của nó, các chân được xác định và tỷ lệ lượng giác tương ứng được sử dụng:

Ví dụ: cathetus AB sẽ đối diện với góc C, nhưng tiếp giáp với góc A. Tùy thuộc vào cạnh hoặc cathetus tương ứng với chiều cao, phía bên kia bị xóa để lấy giá trị của góc này.

Bài tập

Bài tập đầu tiên

Tính diện tích và chiều cao của tam giác ABC, biết rằng các cạnh của nó là:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Giải pháp

Khi dữ liệu được đưa ra các phép đo của ba cạnh của tam giác scalene.

Vì bạn không có giá trị chiều cao, bạn có thể xác định khu vực bằng cách áp dụng công thức Heron.

Đầu tiên, bán kính được tính:

sp = (a + b + c) 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) 2

sp = 36 cm 2

sp = 18 cm.

Bây giờ các giá trị trong công thức của Heron được thay thế:

Biết diện tích có thể được tính chiều cao tương đối ở bên b. Từ công thức chung, xóa nó bạn có:

Diện tích = (bên * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) 12 cm

h = 92,94 cm2 12 cm

h = 7,75 cm.

Bài tập thứ hai

Cho tam giác ABC, có các số đo là:

  • Đoạn AB = 25 m.
  • Đoạn BC = 15 m.

Ở đỉnh B một góc 50 ° được hình thành. Tính chiều cao tương đối với cạnh c, chu vi và diện tích của tam giác đó.

Giải pháp

Trong trường hợp này bạn có các biện pháp của hai bên. Để xác định chiều cao cần phải tính toán số đo của bên thứ ba.

Vì góc đối diện với các cạnh đã cho được đưa ra, có thể áp dụng định luật cosin để xác định phép đo của cạnh AC (b):

b2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

Ở đâu:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

Dữ liệu được thay thế:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367.985

b = √367.985

b = 19,18 m.

Khi bạn đã có giá trị của ba cạnh, hãy tính chu vi của tam giác đó:

P = bên a + bên b + bên c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Bây giờ có thể xác định khu vực bằng cách áp dụng công thức Heron, nhưng trước tiên phải tính toán bán kính:

sp = P 2

sp = 59,18 m 2

sp = 29,59 m.

Các phép đo của các mặt và bán kính được thay thế trong công thức Heron:

Cuối cùng, biết khu vực, chiều cao tương đối ở bên c có thể được tính toán. Từ công thức chung, xóa nó, bạn phải:

Diện tích = (bên * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Bài tập thứ ba

Trong tam giác ABC, cạnh b đo 40 cm, cạnh c đo 22 cm và ở đỉnh A, một góc 90 được tạo thànho. Tính diện tích tam giác đó.

Giải pháp

Trong trường hợp này, các số đo của hai cạnh của tam giác ABC được đưa ra, cũng như góc được tạo thành ở đỉnh A.

Để xác định diện tích không cần thiết phải tính số đo của cạnh a, vì thông qua các tỷ lệ lượng giác, góc được sử dụng để tìm nó.

Vì góc đối diện với chiều cao đã biết, điều này sẽ được xác định bởi sản phẩm ở một bên và sin của góc.

Thay thế trong công thức của khu vực bạn phải:

  • Diện tích = (bên * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Diện tích = (b * c * sen A) ÷ 2

Diện tích = (40 cm * 22 cm * sen 90) 2

Diện tích = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Diện tích = 880 cm2 2

Diện tích = 440 cm2.

Tài liệu tham khảo

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Vẽ kỹ thuật: hoạt động vở.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Hình học Công nghệ CR, .
  3. Thiên thần, A. R. (2007). Đại số tiểu học Giáo dục Pearson,.
  4. Hói, A. (1941). Đại số Havana: Văn hóa.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Hình học Euclide phẳng. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Nguyên tắc cơ bản của hình học Mexico: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Hình học tiểu học cho sinh viên đại học. Học hỏi.
  8. Harpe, P. d. (2000). Các chủ đề trong lý thuyết nhóm hình học. Nhà xuất bản Đại học Chicago.