Tính năng tam giác cân, công thức và diện tích, tính toán



Một tam giác cân Đó là một đa giác ba cạnh, trong đó hai trong số chúng có cùng số đo và mặt thứ ba là một phép đo khác nhau. Mặt cuối cùng này được gọi là cơ sở. Do đặc điểm này, nó được đặt tên này, trong tiếng Hy Lạp có nghĩa là "hai chân bằng nhau"

Hình tam giác là đa giác được coi là đơn giản nhất trong hình học, bởi vì chúng được hình thành bởi ba cạnh, ba góc và ba đỉnh. Chúng là những mặt có số cạnh và góc nhỏ nhất so với các đa giác khác, tuy nhiên việc sử dụng nó rất rộng rãi.

Chỉ số

  • 1 Đặc điểm của tam giác cân
    • 1.1 Thành phần
  • 2 thuộc tính
    • 2.1 Góc bên trong
    • 2.2 Tổng của các bên
    • 2.3 Các mặt đồng dạng
    • 2.4 Góc đồng dạng
    • 2.5 Chiều cao, trung vị, bisector và bisector là trùng nhau
    • 2.6 Độ cao tương đối
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter và cắt bao quy đầu trùng khớp
  • 3 Cách tính chu vi?
  • 4 Cách tính chiều cao?
  • 5 Cách tính diện tích?
  • 6 Cách tính đáy của tam giác?
  • 7 bài tập
    • 7.1 Bài tập đầu tiên
    • 7.2 Bài tập thứ hai
    • 7.3 Bài tập thứ ba
  • 8 tài liệu tham khảo

Đặc điểm của tam giác cân

Tam giác cân được phân loại bằng cách sử dụng số đo các cạnh của nó làm tham số, vì hai cạnh của nó đồng dạng (chúng có cùng độ dài).

Theo biên độ của các góc bên trong, các tam giác cân được phân loại là:

  • Hình tam giác cân tam giác: hai cạnh của nó bằng nhau. Một trong những góc của nó là thẳng (90o) và những người khác là như nhau (45o mỗi người)
  • Isosceles tam giác góc tù: hai cạnh của nó bằng nhau. Một trong những góc của nó là obtuse (> 90o).
  • Tam giác góc cạnh cấp tính: hai cạnh của nó bằng nhau. Tất cả các góc của nó là sắc nét (< 90o), trong đó hai có cùng số đo.

Linh kiện

  • Trung vị: là một đường rời khỏi điểm giữa của một bên và chạm tới đỉnh đối diện. Ba trung vị đồng quy tại một điểm gọi là centroid hoặc centroid.
  • Người chia sẻ: là một tia chia góc của mỗi đỉnh thành hai góc có kích thước bằng nhau. Đó là lý do tại sao nó được gọi là trục đối xứng và loại hình tam giác này chỉ có một.
  • Các mediatrix: là một đoạn vuông góc với cạnh của tam giác, bắt nguồn từ giữa này. Có ba trung gian trong một hình tam giác và chúng đồng quy ở một điểm gọi là Circuncentro.
  • Chiều cao: là đường thẳng đi từ đỉnh sang cạnh đối diện và đường này cũng vuông góc với cạnh đó. Tất cả các tam giác đều có ba độ cao, trùng khớp với một điểm gọi là orthocenter.

Thuộc tính

Các tam giác Isosceles được xác định hoặc xác định bởi vì chúng có một số tính chất đại diện cho chúng, bắt nguồn từ các định lý được đề xuất bởi các nhà toán học vĩ đại:

Góc bên trong

Tổng các góc bên trong luôn bằng 180o.

Tổng của các bên

Tổng các số đo của hai bên phải luôn luôn lớn hơn số đo của bên thứ ba, a + b> c.

Bên đồng thuận

Tam giác Isosceles có hai cạnh có cùng số đo hoặc chiều dài; đó là, chúng đồng dạng và bên thứ ba khác với.

Góc đồng dạng

Tam giác Isosceles cũng được gọi là tam giác iso góc, bởi vì chúng có hai góc có cùng số đo (đồng dư). Chúng nằm ở đáy của hình tam giác, đối diện với các cạnh có cùng chiều dài.

Do đó, định lý xác lập rằng:

"Nếu một tam giác có hai cạnh đồng dạng, các góc đối diện với các cạnh đó cũng sẽ đồng dạng." Do đó, nếu một tam giác cân, các góc của các đáy của nó đồng dạng.

Ví dụ:

Hình dưới đây cho thấy một tam giác ABC. Bằng cách truy tìm dấu chia của nó từ đỉnh của góc B đến đáy, tam giác được chia thành hai tam giác bằng BDA và BDC:

Do đó, góc của đỉnh B cũng được chia thành hai góc bằng nhau. Hiện tại bisector là cạnh (BD) chung giữa hai tam giác mới đó, trong khi các cạnh AB và BC là các cạnh đồng dạng. Vì vậy, bạn có trường hợp bên đồng dạng, góc, bên (LAL).

Điều này cho thấy các góc của các đỉnh A và C có cùng số đo, cũng như có thể chỉ ra rằng vì các tam giác BDA và BDC đồng dạng, nên các cạnh AD và DC cũng đồng dạng..

Chiều cao, trung vị, bisector và bisector là trùng khớp

Đường thẳng được vẽ từ đỉnh đối diện với đáy đến trung điểm của đáy của tam giác cân, đồng thời là chiều cao, trung tuyến và đường phân giác, cũng như đường phân giác so với góc đối diện của đáy.

Tất cả các phân đoạn này trùng khớp với một trong những đại diện cho chúng.

Ví dụ:

Hình dưới đây cho thấy tam giác ABC có điểm giữa M chia cơ sở thành hai đoạn BM và CM.

Khi bạn vẽ một đoạn từ điểm M đến đỉnh đối diện, theo định nghĩa, bạn nhận được trung tuyến AM, tương đối với đỉnh A và cạnh BC.

Do đoạn AM chia tam giác ABC thành hai tam giác AMB và AMC bằng nhau, điều đó có nghĩa là trường hợp của cạnh, góc, cạnh bên sẽ được lấy và do đó AM cũng sẽ là phân giác của BÂC.

Đó là lý do tại sao bisector sẽ luôn luôn bằng trung bình và ngược lại.

Đoạn AM tạo thành các góc có cùng số đo cho các tam giác AMB và AMC; nghĩa là, chúng được bổ sung theo cách mà số đo của mỗi người sẽ là:

Trung bình (AMB) + Trung bình (AMC) = 180o

2 * Trung bình (AMC) = 180o

Trung bình (AMC) = 180o 2

Trung bình (AMC) = 90o

Có thể biết rằng các góc được tạo bởi đoạn AM so với đáy của tam giác đều thẳng, điều này cho thấy đoạn này hoàn toàn vuông góc với đáy.

Do đó, nó đại diện cho chiều cao và bisector, biết rằng M là trung điểm.

Do đó đường thẳng AM:

  • Đại diện cho chiều cao của BC.
  • Nó là vừa.
  • Nó được chứa trong mediatrix của BC.
  • Nó là đường phân giác của góc đỉnh Â

Chiều cao tương đối

Các độ cao tương đối với các cạnh bằng nhau, cũng có cùng số đo.

Vì tam giác cân có hai cạnh bằng nhau, hai chiều cao tương ứng của chúng cũng sẽ bằng nhau.

Orthocenter, barycenter, incenter và cắt bao quy đầu trùng khớp

Khi chiều cao, trung vị, bisector và bisector so với cơ sở, được biểu diễn cùng một lúc bởi cùng một phân đoạn, orthocenter, incenter trung tâm và cắt bao quy đầu sẽ là các điểm cộng tuyến, nghĩa là chúng sẽ nằm trên cùng một đường thẳng:

Cách tính chu vi?

Chu vi của một đa giác được tính bằng tổng của các cạnh.

Như trong trường hợp này, tam giác cân có hai cạnh có cùng số đo, chu vi của nó được tính theo công thức sau:

P = 2*(bên a) + (bên b).

Cách tính chiều cao?

Chiều cao là đường thẳng vuông góc với đáy, chia tam giác thành hai phần bằng nhau bằng cách kéo dài tới đỉnh đối diện.

Chiều cao đại diện cho chân đối diện (a), một nửa cơ sở (b / 2) với chân liền kề và phía "a" đại diện cho cạnh huyền.

Sử dụng định lý Pythagore, bạn có thể xác định giá trị của chiều cao:

một2 + b2 = = c2

Ở đâu:

một2 = chiều cao (h).

b2 = b / 2.

c2 = bên a.

Thay thế các giá trị này trong định lý Pythagore và xóa chiều cao chúng ta có:

h2 + (b / 2)2 = = một2

h2 + b2 / 4 = một2

h2 = = một2 - b2 / 4

h = √ (một2 - b2 / 4).

Nếu góc được tạo bởi các cạnh đồng dạng đã biết, chiều cao có thể được tính theo công thức sau:

Cách tính diện tích?

Diện tích của các hình tam giác luôn được tính theo cùng một công thức, nhân số cơ sở theo chiều cao và chia cho hai:

Có những trường hợp chỉ biết các số đo của hai cạnh của tam giác và góc được tạo giữa chúng. Trong trường hợp này, để xác định diện tích cần áp dụng các tỷ lệ lượng giác:

Cách tính đáy của tam giác?

Vì tam giác cân có hai cạnh bằng nhau, để xác định giá trị cơ sở của nó, người ta cần biết ít nhất là số đo chiều cao hoặc một trong các góc của nó.

Biết chiều cao định lý Pythagore được sử dụng:

một2 + b2 = c2

Ở đâu:

một2 = chiều cao (h).

c2 = bên a.

b2 = b / 2, không xác định.

Chúng tôi đã xóa b2 của công thức và chúng ta phải:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Vì giá trị này tương ứng với một nửa cơ sở, nó phải được nhân với hai để có được số đo hoàn chỉnh của cơ sở của tam giác cân:

b = 2 * (A2 - c2)

Trong trường hợp chỉ biết giá trị của các cạnh bằng nhau và góc giữa chúng, lượng giác được áp dụng, vạch một đường thẳng từ đỉnh đến đáy chia tam giác cân thành hai tam giác vuông.

Theo cách này, một nửa số cơ sở được tính bằng:

Cũng có thể chỉ biết giá trị của chiều cao và góc của đỉnh đối diện với đáy. Trong trường hợp đó bằng lượng giác, cơ sở có thể được xác định:

Bài tập

Bài tập đầu tiên

Tìm diện tích tam giác cân ABC, biết rằng hai cạnh của nó đo được 10 cm và cạnh thứ ba đo được 12 cm.

Giải pháp

Để tìm diện tích của tam giác, cần phải tính chiều cao bằng cách sử dụng công thức của diện tích có liên quan đến Định lý Pythagore, vì không biết giá trị của góc tạo giữa các cạnh bằng nhau.

Chúng tôi có dữ liệu sau đây của tam giác cân:

  • Các cạnh bằng nhau (a) = 10 cm.
  • Cơ sở (b) = 12 cm.

Các giá trị trong công thức được thay thế:

Bài tập thứ hai

Chiều dài hai cạnh bằng nhau của một tam giác cân có kích thước 42 cm, liên kết các cạnh này tạo thành một góc 130o. Xác định giá trị của cạnh thứ ba, diện tích của tam giác đó và chu vi.

Giải pháp

Trong trường hợp này, các phép đo của các cạnh và góc giữa chúng được biết đến.

Để biết giá trị của cạnh bị thiếu, đó là đáy của tam giác đó, một đường thẳng được vẽ vuông góc với nó, chia góc thành hai phần bằng nhau, một cho mỗi tam giác vuông được tạo thành.

  • Các cạnh bằng nhau (a) = 42 cm.
  • Góc (Ɵ) = 130o

Bây giờ bằng cách lượng giác, giá trị của một nửa cơ sở được tính toán, tương ứng với một nửa của cạnh huyền:

Để tính diện tích cần phải biết chiều cao của tam giác đó có thể được tính bằng lượng giác hoặc theo định lý Pythagore, bây giờ giá trị của cơ sở đã được xác định.

Theo lượng giác nó sẽ là:

Chu vi được tính:

P = 2*(bên a) + (bên b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Bài tập thứ ba

Tính các góc trong của tam giác cân, biết rằng góc của đáy là Â = 55o

Giải pháp

Để tìm hai góc bị thiếu (Ê và Ô) cần nhớ hai thuộc tính của các tam giác:

  • Tổng các góc trong của mọi tam giác sẽ luôn là = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • Trong một tam giác cân, các góc của đáy luôn đồng dạng, nghĩa là chúng có cùng số đo, do đó:

 = Ô

Ê = 55o

Để xác định giá trị của góc Ê, thay thế các giá trị của các góc khác trong quy tắc đầu tiên và xóa Ê:

55o + 55o + Ô = 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Tài liệu tham khảo

  1. Álvarez, E. (2003). Các yếu tố của hình học: với nhiều bài tập và hình học của la bàn. Đại học Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Vẽ kỹ thuật: hoạt động vở.
  3. Thiên thần, A. R. (2007). Đại số tiểu học Giáo dục Pearson.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Đại số và lượng giác với hình học phân tích. Giáo dục Pearson.
  5. Hói, A. (1941). Đại số Havana: Văn hóa.
  6. Jose Jiménez, L. J. (2006). Toán 2.
  7. Tuma, J. (1998). Cẩm nang toán kỹ thuật. Thế giới toán học Wolfram.